Para determinar o centro de massa de uma região bidimensiona

Question

Para determinar o centro de massa de uma região bidimensional com densidade variável, utilizamos os momentos Mx e My. Esses momentos são calculados separadamente e são dados por: Mx=∫∫ryδ(x,y)dA My=∫∫rxδ(x,y)dA em que δ(x,y) é a função de densidade da massa e R é a região de integração. A massa total M é então calculada como: M=∫∫rδ(x,y)dA. O centro da massa (x,y) é então obtido por: x̅=My/M ȳ=Mx/M. Esses cálculos permitem encontrar a posição média da massa na região.Fonte: SILVA, F. J.; GARCIA, M. P. Introdução ao Cálculo de Várias Variáveis. 2. ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.Considere então uma chapa R, definida no plano XY, pela imagem a seguir: Sabendo que a sua função densidade é descrita por δ(x, y) = 2xy², determine: a) (3 pontos) A massa da chapa. b) (3 pontos) O momento em x. c) (3 pontos) O momento em y. d) (1 ponto) As coordenadas x e y para o centro de massa. Observação: lembre-se de apresentar todo o desenvolvimento e simplificar as frações.

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver o problema considerando que a região $R$ está delimitada claramente (como a imagem mencionada não está disponível, suporemos a região com base em um exemplo comum, como um retângulo ou um triângulo no primeiro quadrante para simplificar). Vamos considerar, por exemplo, que $R$ é um triângulo no primeiro quadrante delimitado por $x = 0$ , $y = 0$ , e a linha $x + y = 1$ .

a) Massa da Chapa

A massa total $M$ é calculada pela integral dupla da densidade sobre a região $R$ :

M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} 2 x y^{2} d y d x .

Integre em relação a $y$ :

\int_{0}^{1 - x} 2 x y^{2} d y = 2 x \cdot \frac{y^{3}}{3} |_{0}^{1 - x} = 2 x \cdot \frac{(1 - x)^{3}}{3} .

Então, a massa total $M$ é:

M = \int_{0}^{1} \frac{2 x (1 - x)^{3}}{3} d x .

Expanda ( (1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 ) e integre:

M = \int_{0}^{1} \frac{2 x (1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3})}{3} d x .

Calcule a integral:

[ M = \frac{2}{3}\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} + \frac{3x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} - 1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \right). ]

Simplifique:

M = \frac{2}{3} (\frac{10}{20} - \frac{20}{20} + \frac{15}{20} - \frac{4}{20}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{20}) = \frac{1}{30} .

b) Momento em $x$

M x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} y \cdot 2 x y^{2} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} 2 x y^{3} d y d x .

Integre em relação a $y$ :

\int_{0}^{1 - x} 2 x y^{3} d y = 2 x \cdot \frac{y^{4}}{4} |_{0}^{1 - x} = \frac{2 x (1 - x)^{4}}{4} .

Então, $M x$ é:

M x = \int_{0}^{1} \frac{x (1 - x)^{4}}{2} d x .

Expanda ( (1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4 ) e integre:

M x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x (1 - 4 x + 6 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}) d x .

Calcule a integral:

[ Mx = \frac{1}{2}\left[ \frac{x^2}{2} - \frac{4x^3}{3} + \frac{6x^4}{4} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^6}{6} \right]_0^1. ]

Substitua os limites:

M x = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} - \frac{4}{5} + \frac{1}{6}) .

Simplifique:

M x = \frac{1}{2} (\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{45}{30} - \frac{24}{30} + \frac{5}{30}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}) = \frac{1}{6} .

c) Momento em $y$

M y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} x \cdot 2 x y^{2} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} 2 x^{2} y^{2} d y d x .

Integre em relação a $y$ :

\int_{0}^{1 - x} 2 x^{2} y^{2} d y = 2 x^{2} \cdot \frac{y^{3}}{3} |_{0}^{1 - x} = \frac{2 x^{2} (1 - x)^{3}}{3} .

Então, $M y$ é:

M y = \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2} (1 - x)^{3}}{3} d x .

Expanda ( (1-x)^3 ) e integre:

M y = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{2} (1 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}) d x .

Calcule a integral:

[ My = \frac{2}{3}\left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^4}{4} + \frac{3x^5}{5} - \frac{x^6}{6} \right]_0^1. ]

Substitua os limites:

M y = \frac{2}{3} (\frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6}) .

Simplifique:

M y = \frac{2}{3} (\frac{20}{60} - \frac{45}{60} + \frac{36}{60} - \frac{10}{60}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{10}) = \frac{1}{15} .

d) Coordenadas do Centro de Massa

$\bar{x} = \frac{M y}{M} = (\frac{1 / 15}{1 / 30}) = \frac{2}{1} = 2$ .
$\bar{y} = \frac{M x}{M} = (\frac{1 / 6}{1 / 30}) = \frac{5}{1} = 5$ .

Portanto, as coordenadas do centro de massa são ( (2, 5) ). Certifique-se que as funções e limites são os apropriados para a região $R$ que de fato você deseja analisar.

Para determinar o centro de massa de uma região bidimensiona

a) Massa da Chapa

b) Momento em $x$

c) Momento em $y$

d) Coordenadas do Centro de Massa

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a) Massa da Chapa

b) Momento em x

c) Momento em y

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b) Momento em $x$

c) Momento em $y$