Questão de gráficos [derivadas, calculo 1]

Boa tarde Alice Maia. a) Para determinar os pontos críticos, temos que derivar a função e igual a ZERO, ou seja, f '(x) = 3x² - 4x +1 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, por Bhaskara, temos que Delta = b² - 4ac Delta = (-4)² - 4.3.1 Delta = 16 - 12 Delta = 4 x = [ - b + ou - raiz(Delta)] / 2a x = [-(-4) + ou - raiz(4)] / 2.3 Raiz positiva x = [4 + 2] / 6 = 6 / 6 => x = 1 Raiz negativa x = [4 - 2] / 6 = 2 / 6 => x = 1/3 Portanto, temos DOIS pontos críticos x = 1/3 e x = 1. Precisamos avaliar o comportamento de f(x) à esquerda de 1/3; entre 1/3 e 1; e à direita de 1. À esquerda de 1/3 Temos que f(0) = 1, pois 0³ - 2 . 0² + 0 + 1 = 1 f(1/3) = (1/3)³ - 2.(1/3)² + 1/3 + 1 = 31/27 > 1 Portanto f é crescente entre MENOS INFINITO e 1/3 Entre 1/3 e 1 f(1/3) = 31/27 f(1) = 1³ - 2.1² + 1 + 1 = 1 < 31/27 Portanto f é decrescente entre 1/3 e 1. À direita de 1 f(1) = 1 f(2) = 2³ - 2.2² + 2 + 1 = 3 Portanto f é crescente à direita de 1. OBSERVAÇÃO: Para fazer uma análise mais FORMAL: Você pode calcular os limites em MENOS INFINITO e MAIS INFINITO e mostrar que eles tendem, respectivamente, a MENOS INFINITO e MAIS INFINITO. Estes cálculos não são difíceis, no entanto, a explicação acima é consistente e válida. b) Como a primeira derivada é ZERO em x = 1/3 e x = 1, então estes são os pontos de INFLEXÃO. Para saber se este ponto é de máximo ou de mínimo local (ou global) fazemos o teste da segunda derivada no ponto, ou seja, f " (x) = 6x - 4 Igualando f " (x) = 0, temos o ponto onde a concavidade muda de sinal, ou seja, 6x - 4 = 0 => 6x = 4 => x = 4/6 => x = 2/3 Isto significa que a concavidade muda de sinal em x = 2/3. Para x = 1/3, temos f " (1/3) = 6.(1/3) - 4 => f " (1/3) = 6/3 - 4 => f " (1/3) = 2 - 4 = - 2 Temos que 1/3 é ponto de máximo. Para x = 1, temos f " (1) = 6.1 - 4 => f " (1) = 6 - 4 => f " (1) = 2 Temos que 1 é ponto de mínimo. Logo temos que Como 1/3 é ponto de máximo, então de MENOS INFINITO até 2/3 a concavidade é para BAIXO. Como 1 é ponto de mínimo, então de 2/3 até MAIS INFINITO a concavidade é para CIMA. c) Para verificar se a função tem assíntota VERTICAL, temos que ver se existe algum ponto de descontinuidade. Como f(x) é um polinômio, então é contínua para todo x, logo a função f(x) não possui assíntota VERTICAL. Para verificar se tem assíntota HORIZONTAL, calculamos o limite para x tendendo a MENOS infinito e para x tendendo a MAIS infinito, se for o mesmo valor L, então f(x) tem assintota HORIZONTAL em L. Para calcular o limite de f(x) tendendo a INFINITO (MENOS ou MAIS) podemos usar alguns truques de LIMITE, por exemplo, DIVIDIR a expressão de f(x) por x² (x diferente de ZERO), com isso você vai obter que o limite é x - 2 + 1/x + 1/x². Calculando o limite desta expressão para x tendendo a MAIS INFINITO, claramente, vemos que é MAIS INFINITO, pois teríamos INFINITO - 2 + 0 + 0 = INFINITO. Calculando o limite desta expressão para x tendendo a MENOS INFINITO, claramente, vemos que é MENOS INFINITO, pois teríamos MENOS INFINITO - 2 + 0 + 0 = MENOS INFINITO. Podemos usar também o resultado que diz que se f(x) é um polinômio, então para saber o limite de f(x) tendendo ao INFINITO (MENOS OU MAIS), basta verificar o que acontece com o polinômio de MAIOR grau. Neste caso, x³, temos que o limite de x³ para x tendendo a MAIS INFINITO, claramente, vemos que é MAIS INFINITO, pois teríamos INFINITO³ = INFINITO. Neste caso, x³, temos que o limite de x³ para x tendendo a MENOS INFINITO, claramente, vemos que é MAIS INFINITO, pois teríamos (MENOS INFINITO)³ = MENOS INFINITO. CONCLUSÃO: Como os limites são diferentes a conclusão é que f(x) não possui assíntotas VERTICAIS nem HORIZONTAIS. d) Para determinar a equação da reta tangente ao ponto (1, 1) Encontramos a primeira derivada neste ponto que chamaremos de m, e depois, usamos a seguinte relação (y - yo) = m(x - xo) onde (xo, yo) = (1, 1) Lembrando que f '(x) = 3x² - 4x +1 => f ' (1) = 3.1² - 4.1 + 1 = 0 Já sabíamos deste resultado no item a, pois x = 1 é ponto crítico, ou seja, se a derivada no ponto é ZERO, temos que a reta tangente neste ponto é CONSTANTE, e neste caso, a reta é dada por y = 1. e) Não fiz na mão, mas a dificuldade não é tão grande, depois de todas as informações obtidas nos itens de a até d! O gráfico da função é apresentado na figura a seguir (clique na imagem para ampliar) O único detalhe que aparece na imagem e não calculamos até então é o ponto onde f(x) = 0, ou seja, x³ - 2x² + x + 1 = 0 Calcular este valor manualmente dá um pouco de trabalho. Na verdade usamos técnicas para obter uma aproximação cada vez melhor. Notamos que a RAIZ está entre -0,5 e -0,4, então usamos algoritmos matemáticos para obter uma aproximação melhor para este valor até considerarmos que o valor é tão próximo quanto queiramos da raiz, ou seja, quando f(x) tender a ZERO. Um valor para f(x) bem próximo de ZERO é para x = - 0,465572. Espero ter ajudado e bons estudos.