Sistemas de controle i

Vamos resolver o problema passo a passo. 1) Primeiramente, é importante notar que o sistema é de segunda ordem, com a função de transferência: F(s) = a / (s² + b*s + 1). 2) Como o sistema é criticamente amortecido, isso implica que os coeficientes da equação do denominador devem satisfazer a relação de um sistema de segunda ordem criticamente amortecido: s² + 2??_ns + ?_n² = s² + b*s + 1, onde ? = 1 (para criticamente amortecido), e ?_n é a frequência natural não amortecida. Isso nos leva a: b = 2??_n = 2*1*?_n = 2?_n, 1 = ?_n², De onde ?_n = 1 e b = 2. 3) Agora, vamos olhar para a resposta ao degrau. Quando um degrau de amplitude 4 é aplicado, a transformada de Laplace do degrau é 4U(s) = 4/s. A resposta do sistema no domínio de Laplace é, então: R(s) = F(s) * 4U(s) = 4a / (s(s² + b*s + 1)). O valor em estado estacionário dessa resposta é o valor final da resposta no domínio do tempo, que é dado pelo Teorema do Valor Final: Valor final = Lim(s?0) [ s * R(s) ] = Lim(s?0) [ 4a / (s² + b*s + 1) ]. Sabemos que isso estabiliza em 0,5, então podemos resolver para 'a': 0,5 = 4a / 1, a = 0,5/4 = 0,125. Assim, os valores são a = 0,125 e b = 2. Entretanto, nenhuma das alternativas corresponde a esses valores. Existe a possibilidade de um erro na questão ou nas alternativas fornecidas.

Para determinar os valores de 'a' e 'b' da função de segunda ordem, levando em consideração as informações fornecidas, vamos utilizar as características de resposta ao degrau unitário e o fato de o sistema ser criticamente amortecido.

Quando um sistema é criticamente amortecido, a resposta ao degrau unitário atinge seu valor final (ou seja, estabiliza) em 0,5 vezes a amplitude do degrau.

A função de segunda ordem para um sistema criticamente amortecido pode ser escrita como:

F(s) = K/(s^2 + 2 * csi * omega_ns + omega_n^2)

Onde:
- K é o ganho do sistema;
- csi é o fator de amortecimento;
- omega_n é a frequência natural não amortecida do sistema.

No nosso caso, a resposta estabiliza em 0,5, o que nos dá:

0,5 = K/(4)

Portanto, K = 2.

Além disso, sabemos que o sistema é criticamente amortecido, o que significa que csi = 1.

A função de segunda ordem para um sistema criticamente amortecido se torna:

F(s) = 2/(s^2 + 2s + omega_n^2)

Agora, precisamos determinar o valor de omega_n^2.

Podemos utilizar a fórmula para a frequência natural não amortecida em termos de 'b':

omega_n^2 = 1/b

Portanto, precisamos encontrar o valor de 'b'.

Dado que o sistema estabiliza em 0,5 ao aplicar um degrau unitário de amplitude 4, podemos usar o Teorema do Valor Final para determinar esse valor:

lim(s tendendo a 0) sF(s) = 0,5

Substituindo F(s) na equação e considerando que lim(s tendendo a 0) s = 1, temos:

1 * (2/(0^2 + 2(0) + omega_n^2)) = 0,5

Simplificando, obtemos:

2/omega_n^2 = 0,5

Multiplicando ambos os lados por omega_n^2, temos:

2 = 0,5 * omega_n^2

omega_n^2 = 2/0,5

omega_n^2 = 4

Agora que temos o valor de omega_n^2, podemos substituir na função de segunda ordem:

F(s) = 2/(s^2 + 2s + 4)

Comparando com a função original fornecida, temos:

a = 2
b = 4

Portanto, os valores de 'a' e 'b' são 2 e 4, respectivamente.