Um rapaz achou uma pepita de ouro enquanto nadava em um rio.

Question

Um rapaz achou uma pepita de ouro enquanto nadava em um rio. Dirigiu-se então a um laboratório com a finalidade de determinar o valor da massa da pepita por meio de uma balança. A) O rapaz não conseguiu localizar a curva de erros da balança, mas o valor $ 2,0 g, correspondendo a seu erro máximo, estava escrito na bancada. O rapaz, inicialmente, mediu uma única vez, tendo obtido como indicação 32,4 g. Expresse o resultado da medição, o valor da massa desta pepita.  B) Não satisfeito com a incerteza da medição, o aluno obteve as nove indicações adicionais listadas a seguir (todas em gramas). Qual o novo resultado da medição? 32,8 32,7 32,2 32,9 32,5 33,1 32,6 32,4 33,0  C) O rapaz então resolveu procurar o certificado de calibração da balança. Observando a curva de erros, constatou que, para valores do mensurando da ordem de 33 g esta balança apresenta tendência de -0,50 g e verificou que a precisão era 0,68 g. Para estas novas condições, qual o resultado da medição?

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver essa dúvida de engenharia, vamos calcular o resultado da medição em cada etapa utilizando os dados fornecidos:

A) Resultado da Medição Inicial

O valor inicial medido pelo rapaz foi de 32,4 g. A incerteza máxima (erro máximo) da balança é de 2,0 g. Portanto, o resultado pode ser expresso como:

Resultado Inicial = 32, 4 g \pm 2, 0 g

B) Novo Resultado da Medição com Várias Leituras

Com as medidas adicionais, calcularemos a média das indicações e a incerteza padrão (desvio padrão da média).

Medidas:

32,4
32,8
32,7
32,2
32,9
32,5
33,1
32,6
33,0

Cálculo da Média:

Média = \frac{32, 4 + 32, 8 + 32, 7 + 32, 2 + 32, 9 + 32, 5 + 33, 1 + 32, 6 + 33, 0}{9} = \frac{294, 2}{9} \approx 32, 69 g

Cálculo do Desvio Padrão da Amostra:

O desvio padrão da amostra (s) pode ser calculado da seguinte forma:

s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}{n - 1}}

Onde $x_{i}$ são os valores medidos, $\overset{―}{x}$ é a média, e $n$ é o número de medidas.

Primeiro calculamos a variância, depois a raiz quadrada para obter o desvio padrão.

s \approx \sqrt{\frac{(32, 4 - 32, 69)^{2} + (32, 8 - 32, 69)^{2} + \dots + (33, 0 - 32, 69)^{2}}{9 - 1}} \approx 0, 28 g

Desvio Padrão da Média:

s_{média} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0, 28}{\sqrt{9}} \approx 0, 093 g

Portanto, o novo resultado da medição seria expresso como:

Novo Resultado = 32, 69 g \pm 0, 093 g

C) Resultado Com Curva de Erros

Sabendo que a balança tem uma tendência de -0,50 g e uma precisão de 0,68 g para a faixa de medição em questão, ajustamos o resultado final da seguinte forma:

Correção de Tendência:

A média calculada anteriormente deve ser corrigida pela tendência de -0,50 g:

Média Corrigida = 32, 69 g - 0, 50 g = 32, 19 g

Consideração da Precisão:

Somamos a precisão da balança à incerteza padrão da média para expressar o resultado final completo:

Incerteza Total = \sqrt{(s_{média})^{2} + (precisão)^{2}} = \sqrt{(0, 093)^{2} + (0, 68)^{2}} \approx 0, 686 g

Portanto, o resultado da medição, considerando a curva de erros, é:

Resultado Final = 32, 19 g \pm 0, 686 g

Esse resultado expressa a massa corrigida pela tendência da balança e a incerteza combinada da medição.