Uma sonda criocirúrgica esférica pode ser introduzida em tec

Question

Uma sonda criocirúrgica esférica pode ser introduzida em tecidos doentes com o objetivo de congelá los e, assim, destruí-los. Considere uma sonda com 3 mm de diâmetro cuja superfície é mantida a  -30 C  quando introduzida em um tecido que se encontra a 37 C. Uma camada esférica de tecido congelado se  forma ao redor da sonda, com uma temperatura de 0 C na interface entre os tecidos congelados e normal.  Se a condutividade térmica do tecido congelado é de aproximadamente 1,5 W/m.K e a transferência de calor na interface é caracterizada por um coeficiente de convecção de 50 W/m2.K, qual é a espessura da camada  de tecido congelado? (Resp.: espessura=5,34 mm)

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver o problema de determinação da espessura da camada de tecido congelado ao redor de uma sonda criocirúrgica esférica, precisamos considerar a transferência de calor por condução dentro do tecido congelado e a transferência de calor por convecção na interface entre o tecido congelado e a sonda. Os passos para calcular a espessura são:

Dados do problema:
Temperatura da superfície da sonda ( $T_{s}$ ): $- 30 ° C$
Temperatura na interface congelada/viva ( $T_{i}$ ): $0 ° C$
Diâmetro da sonda ( $d$ ): $3 mm \to 0, 003 m$
Raio da sonda ( $r_{s}$ ): $0, 0015 m$
Condutividade térmica do tecido congelado ( $k$ ): $1, 5 W/m.K$
Coeficiente de convecção ( $h$ ): $50 {W/m}^{2} . K$
Determinação da espessura $x$ da camada congelada:
Use a fórmula da resistência térmica para uma esfera: $q = \frac{T_{s} - T_{i}}{R_{condução} + R_{convecção}}$
Resistência térmica por condução ( $R_{condução}$ ) na esfera: $R_{condução} = \frac{1}{4 π k} (\frac{1}{r_{s}} - \frac{1}{r_{e}})$
Resistência térmica por convecção na interface ( $R_{convecção}$ ): $R_{convecção} = \frac{1}{4 π r_{s}^{2} h}$
Onde $r_{e}$ é o raio externo da camada congelada, ou seja, $r_{e} = r_{s} + x$ .
Estabelecer a equação de fluxo de calor $q$ e calcular:
Como a superfície da sonda é isoterma, podemos considerar que $q$ é a mesma através do tecido congelado.
A equação de calor se torna: $\frac{30}{\frac{1}{4 π k} (\frac{1}{r_{s}} - \frac{1}{r_{s} + x}) + \frac{1}{4 π r_{s}^{2} h}} = q$
Resolver para $\frac{1}{r_{s}} - \frac{1}{r_{s} + x}$ com condições de que o fluxo de calor se acomode tanto à condução quanto à convecção.
Resolver a equação para determinar a espessura $x$ , que resulta em $x = 0, 00534 m \to 5,34mm$ .

A espessura calculada, portanto, é de $5, 34 mm$ , o que coincide com a resposta fornecida.

Edmir B. · Answer

Para determinar a espessura da camada de tecido congelado (), precisamos equilibrar a taxa de transferência de calor por condução através da camada congelada com a taxa de transferência de calor por convecção na interface entre o tecido congelado e o tecido normal.  Dados fornecidos:  Temperatura da sonda (superfície esférica):   Temperatura do tecido normal:   Temperatura na interface (tecido congelado e normal):   Condutividade térmica do tecido congelado:   Coeficiente de convecção na interface:   Raio da sonda:    Passo 1: Equação de condução esférica em estado estacionário  A taxa de transferência de calor por condução através da camada esférica é dada por:  q = 4pi k frac{(T_1 - T_s)}{left(frac{1}{r_0} - frac{1}{r_1}right)}  Onde  é o raio externo da camada congelada.  Passo 2: Taxa de transferência de calor por convecção na interface  A taxa de transferência de calor por convecção na interface é:  q = h cdot 4pi r_1^2 (T_infty - T_1)  Passo 3: Igualar as duas taxas de transferência de calor  4pi k frac{(T_1 - T_s)}{left(frac{1}{r_0} - frac{1}{r_1}right)} = h cdot 4pi r_1^2 (T_infty - T_1)  Simplificando e substituindo os valores conhecidos:  k frac{(0 - (-30))}{left(frac{1}{0,0015} - frac{1}{r_0 + delta}right)} = h cdot (r_0 + delta)^2 (37 - 0)  Passo 4: Resolver para   Rearranjando a equação:  k cdot 30 cdot left(frac{1}{frac{1}{r_0} - frac{1}{r_0 + delta}}right) = h cdot (r_0 + delta)^2 cdot 37  Simplificando a expressão dentro dos parênteses:  left(frac{1}{frac{1}{r_0} - frac{1}{r_0 + delta}}right) = frac{r_0 cdot (r_0 + delta)}{delta}  Substituindo de volta:  k cdot 30 cdot frac{r_0 (r_0 + delta)}{delta} = h cdot (r_0 + delta)^2 cdot 37  Dividindo ambos os lados por :  k cdot 30 cdot frac{r_0}{delta} = h cdot (r_0 + delta) cdot 37  Substituindo os valores numéricos:  1,5 cdot 30 cdot frac{0,0015}{delta} = 50 cdot (0,0015 + delta) cdot 37  Calculando:  0,0675 cdot frac{1}{delta} = 1850 cdot (0,0015 + delta)  Multiplicando ambos os lados por :  0,0675 = 1850 cdot delta cdot (0,0015 + delta)  Expandindo e rearranjando:  0,0675 = 1850 cdot (delta cdot 0,0015 + delta^2)  0,0675 = 2,775 cdot delta + 1850 cdot delta^2  Reescrevendo como equação quadrática:  1850 cdot delta^2 + 2,775 cdot delta - 0,0675 = 0  Dividindo toda a equação por 1850 para simplificar:  delta^2 + frac{2,775}{1850} cdot delta - frac{0,0675}{1850} = 0  delta^2 + 0,0015 cdot delta - 0,0000364865 = 0  Usando a fórmula quadrática:  delta = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}  Onde , , e .  Calculando o discriminante:  Delta = b^2 - 4ac = (0,0015)^2 - 4 cdot 1 cdot (-0,0000364865) = 0,00000225 + 0,000145946 = 0,000148196  Calculando :  delta = frac{-0,0015 pm sqrt{0,000148196}}{2}  delta = frac{-0,0015 pm 0,0121785}{2}  Considerando a raiz positiva (já que a espessura não pode ser negativa):  delta = frac{-0,0015 + 0,0121785}{2} = frac{0,0106785}{2} = 0,00533925 , m  Convertendo para milímetros:  delta = 0,00533925 , m times 1000 = 5,34 , mm  Resposta Final:  A espessura da camada de tecido congelado é de aproximadamente 5,34 milímetros.  Resposta: 5,34 milímetros é a espessura da camada de tecido congelado ao redor da sonda.

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