Para determinar a espessura da camada de tecido congelado (), precisamos equilibrar a taxa de transferência de calor por condução através da camada congelada com a taxa de transferência de calor por convecção na interface entre o tecido congelado e o tecido normal.
Dados fornecidos:
Temperatura da sonda (superfície esférica):
Temperatura do tecido normal:
Temperatura na interface (tecido congelado e normal):
Condutividade térmica do tecido congelado:
Coeficiente de convecção na interface:
Raio da sonda:
Passo 1: Equação de condução esférica em estado estacionário
A taxa de transferência de calor por condução através da camada esférica é dada por:
q = 4\pi k \frac{(T_1 - T_s)}{\left(\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_1}\right)}
Onde é o raio externo da camada congelada.
Passo 2: Taxa de transferência de calor por convecção na interface
A taxa de transferência de calor por convecção na interface é:
q = h \cdot 4\pi r_1^2 (T_\infty - T_1)
Passo 3: Igualar as duas taxas de transferência de calor
4\pi k \frac{(T_1 - T_s)}{\left(\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_1}\right)} = h \cdot 4\pi r_1^2 (T_\infty - T_1)
Simplificando e substituindo os valores conhecidos:
k \frac{(0 - (-30))}{\left(\frac{1}{0,0015} - \frac{1}{r_0 + \delta}\right)} = h \cdot (r_0 + \delta)^2 (37 - 0)
Passo 4: Resolver para
Rearranjando a equação:
k \cdot 30 \cdot \left(\frac{1}{\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_0 + \delta}}\right) = h \cdot (r_0 + \delta)^2 \cdot 37
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
\left(\frac{1}{\frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_0 + \delta}}\right) = \frac{r_0 \cdot (r_0 + \delta)}{\delta}
Substituindo de volta:
k \cdot 30 \cdot \frac{r_0 (r_0 + \delta)}{\delta} = h \cdot (r_0 + \delta)^2 \cdot 37
Dividindo ambos os lados por :
k \cdot 30 \cdot \frac{r_0}{\delta} = h \cdot (r_0 + \delta) \cdot 37
Substituindo os valores numéricos:
1,5 \cdot 30 \cdot \frac{0,0015}{\delta} = 50 \cdot (0,0015 + \delta) \cdot 37
Calculando:
0,0675 \cdot \frac{1}{\delta} = 1850 \cdot (0,0015 + \delta)
Multiplicando ambos os lados por :
0,0675 = 1850 \cdot \delta \cdot (0,0015 + \delta)
Expandindo e rearranjando:
0,0675 = 1850 \cdot (\delta \cdot 0,0015 + \delta^2)
0,0675 = 2,775 \cdot \delta + 1850 \cdot \delta^2
Reescrevendo como equação quadrática:
1850 \cdot \delta^2 + 2,775 \cdot \delta - 0,0675 = 0
Dividindo toda a equação por 1850 para simplificar:
\delta^2 + \frac{2,775}{1850} \cdot \delta - \frac{0,0675}{1850} = 0
\delta^2 + 0,0015 \cdot \delta - 0,0000364865 = 0
Usando a fórmula quadrática:
\delta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (0,0015)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,0000364865) = 0,00000225 + 0,000145946 = 0,000148196
Calculando :
\delta = \frac{-0,0015 \pm \sqrt{0,000148196}}{2}
\delta = \frac{-0,0015 \pm 0,0121785}{2}
Considerando a raiz positiva (já que a espessura não pode ser negativa):
\delta = \frac{-0,0015 + 0,0121785}{2} = \frac{0,0106785}{2} = 0,00533925 \, m
Convertendo para milímetros:
\delta = 0,00533925 \, m \times 1000 = 5,34 \, mm
Resposta Final:
A espessura da camada de tecido congelado é de aproximadamente 5,34 milímetros.
Resposta: 5,34 milímetros é a espessura da camada de tecido congelado ao redor da sonda.
