Distribuição de poisson

O número de pessoas que semanalmente apresenta um pe- dido de emprego no Centro de Emprego de Setúbal é uma variável aleatória que segue uma distribuição Poisson com E[X] = 9. Cerca de 80% das pessoas pretendem trabalhar no sector dos serviços. 
1. Qual a probabilidade de em determinada semana não aparecerem mais de 4 pedidos no centro de emprego?
2. Tendo seleccionado 12 dos pedidos recepcionados, qual a probabilidade de se encontrarem mais de 7 dirigidos a sectores que não o de serviços?

Alfredo Inacio
Alfredo
perguntou há 8 meses

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1 resposta
Professor Vinicius Obadowski
Respondeu há 7 meses

 


Resumo: Estas duas questões envolvem conhecimento a respeito da Distribuição de Poisson e Distribuição Binomial. Adicionalmente, o conhecimento de simulação de Monte Carlo pode reduzir o esforço no cálculo do item 2.


 


Bem, para resolver este exercício é preciso conhecer a função de probabilidade da distribuição de Poisson:
Que é dada por:


 



f (k; L) = exp(-λ) * (λ ^ k) / (k!) 
onde k é a variável a qual se deseja conhecer a probabilidade; e λ é a variância da distribuição.

O valor da variância foi dada em E[X] = 9, portanto λ = 9.

1. Para respondermos a primeira questão usaremos a equação apresentada acima. Lembrando que esta equação representa a probabilidade da ocorrência de k eventos em uma distribuição de Poisson com variância λ. Isso significa que para conhecermos a probabilidade de que em determinada semana não apareçam mais do que 4 pedidos, basta calcular a chance de aparecem 0, 1, 2, 3 e 4 pedidos e somá-las. Logo:
f(0; 9) + f(1; 9) + f(2; 9) + f(3; 9) + f(4; 9)
exp(-9)*[ 9^0/0! + 9^1/1! + 9^2/2! + 9^3/3! + 9^4/4!) = 0.05496364 = 5,50 %

2. Este é um caso particular, onde temos apenas dois eventos: trabalhar no setor de serviços ou não. Com chances de 80% para o primeiro caso e 20% no segundo caso, são probabilidades complementares.
Nesta investigação em particular, busca-se saber em 12 pedidos de empregos, quantos são para setores que não o de serviço. Este é um caso onde pode-se empregar a probabilidade binomial, uma vez que temos apenas dois tipos eventos (emprego na área de serviços ou não) com chances distintas.
A equação para probabilidade binomial (PB) é dada por:

PB(k = x) = n! / [ k! * (n-k)! ] * p^k * (1-p)^k



onde:
p é a probabilidade desejada (em nosso caso, 20% de pedidos que não sejam serviço)
k é a quantidade de eventos desejados
n é o número total de eventos (neste caso 12 pedidos de empregos

Neste exercício, foi pedido a probabilidade de que houvesse 7 ou mais pedidos dentre 12 em área diversa a de serviço. Logo, devemos calcular:
PB(k ≥ 7) = PB(k = 7) + PB(k = 8) + PB(k = 9) + PB(k = 10) + PB(k = 11) + PB(k =12)

Devido a quantidade de fatoriais e potências, descrever a solução completa aqui é inviável, porém o resultado para esta análise é de aproximadamente 0,39%.

Outra maneira de resolver este exercício é utilizando a simulação de Monte Carlo. Coloco aqui abaixo um código exemplo em linguagem R:
trab <- c(1,0)
B = 10000
mostra <- replicate(B, {
    t <- sample(trab, 12, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.8))
    sum(t) >= 7
})

A equação binominal é apresentada de uma forma mais elegante neste link.

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