Estatística e probabilidade.

Para avaliar a proporção de indivíduos de um município que são favoráveis a um projeto específico da prefeitura, , decidiu-se entrevistar 225 moradores dessa localidade. O resultado do experimento foi o seguinte: exatamente 198 entrevistados declararam aprovar as medidas adotadas pelo governo local. (a) Escreva a função de verossimilhança para ? gerada pelo resultado da pesquisa. Descreva as suposições. Qual é a estimativa de máxima verossimilhança para ? ? (0,5) (b) Considerando, a priori, que ? é distribuído segundo o modelo beta, com E( ?) = 80% e DP( ?) = 10%, obtenha a distribuição a posteriori para ?. Qual é a variância dessa distribuição a posteriori ? Qual é a estimativa de Bayes para tal proporção com relação à perda quadrática? Os pontos de interrogação são "teta"
Geovana M.
Geovana
perguntou há 1 mês

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Professor Ricardo I.
Respondeu há 1 mês

Sob amostra aleatória simples:

A função de verossimilhança é dada por:

Lembrando que:

A suposição realizada foi, justamente, que as observações são independentes entre si e identicamente distribuídas.

Note que a função de verossimilhança não é uma função de densidade e nem uma função de probabilidade. Ela é uma função em relação a theta.

O estimador de máxima verossimilhança para theta é obtido a partir da maximização da função de verossimilhança. Para simplificar a notação, irei denominar:

Logo, derivando a função de verossimilhança e igualando-a a zero:

Simplificando a expressão anterior:

É necessário verificar se este é realmente um ponto de máximo, efetuando a derivada segunda da função de verossimilhança e vendo se ela é negativa. Mas não vou fazer isso aqui, ok? Faz o teste e verifica.

Note que o estimador de máxima verossimilhança para theta é dado pela média de X na amostra.

Para a amostra que foi observada, a estimativa de máxima verossimilhança é 198/225 = 0,88.

 

Agora vamos para a posteriori. Sabemos que:

Ou seja, vamos conjugar a função de verossimilhança com o núcleo da distribuição a priori para obter o núcleo da distribuição a posteriori. Você pode fazer o cálculo por completo, mas é muito mais prático operar somente com os núcleos (sem a constante da função de densidade) e identificar o núcleo da posteriori.

Foi informado que, a priori, o parâmetro theta segue uma distribuição beta. Ou seja:

A distribuição a priori tem núcelo

Para obter a distribuição a posteriori, vamos operar com os núcleos:

Note que o núcleo da distribuição posteriori corresponde ao núcleo de uma distribuição beta, com parâmetros:

O teu enunciado não informou quem é o alfa e o beta da distribuição a priori, mas sim disse quem é a esperança de theta a priori e seu desvio padrão. Com isso, precisará resolver um sistema para encontrar o alfa e o beta, lembrando que, como theta segue, a priori, uma distribuição Beta(alfa,beta), temos que:

Como a posteriori theta segue uma distribuição beta, sua variância é simples de ser encontrada, pois:

Por fim, o estimador de Bayes para theta, com respeito a uma função de perda quadrática, é o valor esperado a posteriori. Não vou fazer este desenvolvimento aqui, mas o caminho é este:

Isso será exatamente igual a esperança a posteriori que, no caso, é:

Colocando os valores numéricos para alfa estrela e beta estrela (encontrados a partir do cálculo de alfa e de beta a priori, e também usando os dados da amostra do problema, onde t = 198 e n = 225), irá encontrar a estimativa de Bayes para theta com respeito à perda quadrática.

Espero ter ajudado.

NOTA: Espero não ter errado nenhuma conta. Por favor, não apague esta dúvida pois ela deu bastante trabalho de ser respondida.

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