Sob amostra aleatória simples:
A função de verossimilhança é dada por:
Lembrando que:
A suposição realizada foi, justamente, que as observações são independentes entre si e identicamente distribuídas.
Note que a função de verossimilhança não é uma função de densidade e nem uma função de probabilidade. Ela é uma função em relação a theta.
O estimador de máxima verossimilhança para theta é obtido a partir da maximização da função de verossimilhança. Para simplificar a notação, irei denominar:
Logo, derivando a função de verossimilhança e igualando-a a zero:
Simplificando a expressão anterior:
É necessário verificar se este é realmente um ponto de máximo, efetuando a derivada segunda da função de verossimilhança e vendo se ela é negativa. Mas não vou fazer isso aqui, ok? Faz o teste e verifica.
Note que o estimador de máxima verossimilhança para theta é dado pela média de X na amostra.
Para a amostra que foi observada, a estimativa de máxima verossimilhança é 198/225 = 0,88.
Agora vamos para a posteriori. Sabemos que:
Ou seja, vamos conjugar a função de verossimilhança com o núcleo da distribuição a priori para obter o núcleo da distribuição a posteriori. Você pode fazer o cálculo por completo, mas é muito mais prático operar somente com os núcleos (sem a constante da função de densidade) e identificar o núcleo da posteriori.
Foi informado que, a priori, o parâmetro theta segue uma distribuição beta. Ou seja:
A distribuição a priori tem núcelo
Para obter a distribuição a posteriori, vamos operar com os núcleos:
Note que o núcleo da distribuição posteriori corresponde ao núcleo de uma distribuição beta, com parâmetros:
O teu enunciado não informou quem é o alfa e o beta da distribuição a priori, mas sim disse quem é a esperança de theta a priori e seu desvio padrão. Com isso, precisará resolver um sistema para encontrar o alfa e o beta, lembrando que, como theta segue, a priori, uma distribuição Beta(alfa,beta), temos que:
Como a posteriori theta segue uma distribuição beta, sua variância é simples de ser encontrada, pois:
Por fim, o estimador de Bayes para theta, com respeito a uma função de perda quadrática, é o valor esperado a posteriori. Não vou fazer este desenvolvimento aqui, mas o caminho é este:
Isso será exatamente igual a esperança a posteriori que, no caso, é:
Colocando os valores numéricos para alfa estrela e beta estrela (encontrados a partir do cálculo de alfa e de beta a priori, e também usando os dados da amostra do problema, onde t = 198 e n = 225), irá encontrar a estimativa de Bayes para theta com respeito à perda quadrática.
Espero ter ajudado.
NOTA: Espero não ter errado nenhuma conta. Por favor, não apague esta dúvida pois ela deu bastante trabalho de ser respondida.
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