Probabilidade de moedas

Para determinar a probabilidade de obter duas caras consecutivas ao lançar uma moeda 10 vezes, podemos usar uma análise combinatória e probabilidade.

Primeiro, vamos entender o total de possibilidades ao lançar uma moeda 10 vezes. Para cada lançamento, temos 2 resultados possíveis (cara ou coroa), portanto, o total de sequências possíveis ao longo de 10 lançamentos é (2^{10} = 1024).

Agora, queremos calcular o número de sequências de 10 lançamentos que contenham pelo menos uma ocorrência de "CC" (duas caras consecutivas).

Uma abordagem comum para determinar isso é usar o princípio da inclusão-exclusão ou contar o número de sequências que NÃO contêm a substring "CC" e, em seguida, subtrair de 1024 para encontrar o número de sequências que têm pelo menos uma "CC".

Vamos chamar (a_n) o número de sequências de (n) lançamentos que não contêm "CC". Podemos definir a sequência recursivamente:

1. Se o primeiro lançamento é "C", o próximo deve ser "K" (ou "C" novamente se não houver restrição) e, portanto, a sequência restante tem (n-2) lançamentos.
2. Se o primeiro lançamento for "K", o próximo pode ser "C" ou "K", e isso deixa (n-1) lançamentos restantes.

Assim, a relação de recursão se torna: - ( a_n = a_{n-1} + a_{n-2} )

Para as condições iniciais: - ( a_1 = 2 ) (C, K) - ( a_2 = 3 ) (CC, CK, KC)

Dessa forma, podemos calcular ( a_n ) para ( n=10 ):

• ( a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5 )
• ( a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8 )
• ( a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13 )
• ( a_6 = a_5 + a_4 = 13 + 8 = 21 )
• ( a_7 = a_6 + a_5 = 21 + 13 = 34 )
• ( a_8 = a_7 + a_6 = 34 + 21 = 55 )
• ( a_9 = a_8 + a_7 = 55 + 34 = 89 )
• ( a_{10} = a_9 + a_8 = 89 + 55 = 144 )

Agora, para ( n = 10 ), temos ( a_{10} = 144 ).

Assim, o número de sequências que têm pelo menos uma "CC" é ( 1024 - 144 = 880 ).

Por fim, a probabilidade de obter pelo menos uma sequência de duas caras consecutivas em 10 lançamentos é:

[ P = \frac{880}{1024} = \frac{55}{64} \approx 0,8594 \text{ ou } 85,94% ]

Portanto, as chances de obter duas caras consecutivas em uma sequência de 10 lançamentos de uma moeda são aproximadamente 85,94%.