Questão de distribuição conjunta

A) A covariância para duas variáveis aleatórias e é formalmente definida como

onde é o valor esperado (média) de . Então, para obter a covariância, basta obter a esperança conjunta () de e , e subtrair o produto das esperanças marginais (as médias) de e . A esperança conjunta é obtida de maneira simples somando todos os produtos de combinações de valores observados para e com sua respectiva probabilidade. Por exemplo, o valor de 2 para e o de 1 para são observados juntamente com uma probabilidade de 0,14. Logo, o primeiro termo da nossa soma é 2 * 1 * 0,14. A nossa soma será

= (2 * 1 * 0,14) + (2 * 2 * 0,04) + (2 * 3 * 0,02) + (4 * 1 * 0,04) + ... + (8 * 2 * 0,02) + (8 * 3 * 0,08) = 10,76

Para obter as esperanças marginais e , precisamos obter as probabilidades marginais de e . Isto é feito somando as probabilidades na mesma linha (para ) ou coluna (para ) na tabela. Por exemplo, a probabilidade marginal para igual a 2 é 0,14 + 0,04 + 0,02 = 0,2. Já a probabilidade marginal para igual a 1 é 0,14 + 0,04 + 0,02 + 0 = 0,2. É sempre uma boa ideia conferir se as probabilidades marginais calculadas estão corretas, e isto pode ser feito somando as probabilidades obtidas para ou para e vendo se a soma de ambas é igual a 1, condição que deve sempre ser verificada. A esperança marginal tanto de como de é obtida somando todos os produtos do valor observado com sua respectiva probabilidade marginal. A soma para será

= (2 * 0,2) + (4 * 0,3) + (6 * 0,4) + (8 * 0,1) = 4,8

e a soma para será

= (1 * 0,2) + (2 * 0,5) + (3 * 0,3) = 2,1

Logo, voltando para a fórmula da covariância e substituindo os termos, temos que é igual a 10,76 - (4,8 * 2,1) = 0,68

B) o coeficiente de correlação entre e é definido como

,

onde e são os desvios padrões para e . O desvio padrão é obtido como a raiz quadrada da variância, que é definida como

.

Para o primeiro termo, calculamos a soma de todos os produtos dos quadrados dos valores de (ou ) com sua respectiva probabilidade marginal. O primeiro termo, por exemplo, é igual a (2^2 * 0,2) = (4 * 0,2). As soma inteira para e são iguais a

= (4 * 0,2) + (16 * 0,3) + (36 * 0,4) + (64 * 0,1) = 26,4

= (1 * 0,2) + (4 * 0,5) + (9 * 0,3) = 4,9

Os valores para e são simplesmente os quadrados dos termos e no exercício anterior. São respectivamente iguais a 23,04 e 4,41. Logo, as variâncias de e são iguais a

= 26,4 - 23,04 = 3,36

= 4,9 - 4,41 = 0,49

Tirando a raiz quadrada de ambos, verificamos que os desvios padrões de e são respectivamente iguais a 1,83 e 0,7. Com isto, temos tudo o que precisamos para calcular o coeficiente de correlação, que é igual a

= 0,68 / (1,83 * 0,7) = 0,53