Teste probabilidade e estatística

1)
Vamos resolver essa questão usando o conceito de probabilidade binomial. A probabilidade binomial é utilizada para determinar a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de ensaios independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso.

Dados do problema:

• A probabilidade de um funcionário aumentar a produtividade após o curso é p = 0,78.
• A probabilidade de um funcionário não aumentar a produtividade é q = 1 – p = 0,22.
• O número de funcionários que participam do curso é n = 13.
• Precisamos encontrar a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários não aumentem a produtividade.

Resolução:

Podemos calcular a probabilidade de exatamente k funcionários não aumentarem a produtividade usando a fórmula da distribuição binomial:

Onde:

•  é o coeficiente binomial, que é dado por .
• p é a probabilidade de sucesso (aumentar a produtividade).
• q é a probabilidade de fracasso (não aumentar a produtividade).
• n é o número total de tentativas (funcionários).
• k é o número de sucessos desejados (número de funcionários que não aumentam a produtividade).

Neste caso, precisamos calcular a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários não aumentem a produtividade, ou seja, P(X?3). Para encontrar essa probabilidade, podemos calcular o complemento da probabilidade de que menos de 3 funcionários não aumentem a produtividade:

Vamos calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) e, em seguida, encontrar P(X?3).

Cálculos:

1. P(X=0):

1. P(X=1):

1. P(X=2):

Finalmente, a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários não aumentem a produtividade será:

2) Passos:

Número de passageiros desembarcando:

• O ônibus tem 11 passageiros, e a probabilidade de cada um deles desembarcar no próximo ponto é de 0,05.
• A probabilidade de que exatamente k passageiros desembarquem é dada pela distribuição binomial:

Número de passageiros embarcando:

• Há 2 passageiros no ponto, e a probabilidade de cada um deles embarcar no ônibus é de 0,85.
• A probabilidade de que exatamente j passageiros embarquem é dada pela distribuição binomial:

Probabilidade do número total de passageiros não mudar:

• Para que o número total de passageiros dentro do ônibus não mude, o número de passageiros que desembarcam deve ser igual ao número de passageiros que embarcam.
• Devemos considerar os casos em que k=j, ou seja, k=0, k=1 ou k=2.

A probabilidade total será a soma das probabilidades dos seguintes casos:

• k=j=0 (nenhum passageiro desembarca e nenhum passageiro embarca):

• k=j=1 (um passageiro desembarca e um passageiro embarca):

• k=j=2 (dois passageiros desembarcam e dois passageiros embarcam):

Cálculos:

Vamos calcular essas probabilidades e somá-las para encontrar a probabilidade total: