Aceleração da gravidade

Um balde posicionado inicialmente na borda de um poço, vai dentro do mesmo. Um observador ao lado do poço observa 7 segundos após o balde iniciar o movimento ele ouve o som do balde acertando o fundo do poço. Determine a profundidade do poço sabendo, a velocidade do som: 340 m/s é a aceleração da gravidade (g=10m/s2).

Guilherme L
Guilherme
perguntou há 7 meses

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4 respostas
Professor Vithor H. Silva
Respondeu há 7 meses
O segredo aqui é pensar em dois momentos distintos: 1) a descida em queda livre (tempo=x); 2) a subida do som (tempo de subida=y).
Em 1) temos a seguinte equação:
h = g*x²/2
Em 2) temos a seguinte equação:
h=v*y

Logo, h em 1, é o mesmo h em 2. E temos: g*x²/2 = v*y
Mas sabemos que o somatórios desses tempos distintos é igual a 7s. Ou seja: x+y=7.

Logo um sistema de duas equações. Que vão resultar em uma equação do segundo grau.
y = (5/340)*x²
x + (5/340)*x² = 7

Solucionando, temos dois valores para 'x', porém apenas o valor menor que '7' é válido nesse estudo.
x = 6,398 segundos.
Por consequência, como a soma é '7' entre x e y. Temos y = 0,602 segundos.

Podemos calcular o 'h' duas vezes p situação 1 e 2, e tem que ser o mesmo valor para estar correto.

Encontramos h = 204 m nos dois casos!
Professora Christiane Mol
Respondeu há 7 meses

Caro Guilherme, Se o balde desce o poço, bate no fundo e sobe o som em um tempo se 7 segundos, temos que o tempo de descida do balde é X segundos e de subida do som é 7-X segundos.


O som não está sobre a ação da gravidade como o balde, então a distância percorrida H = velocidade x tempo. Já para o balde que está sob a ação da gravidade e a distância será: H = 0,5 g t2


Ambos percorrem a mesma distância que é a altura H do poço. Então, 


V . tsom  =  0,5 . g . tbalde2 


340 . (7 - X) =  0,5 . 10 . X2 


5 X2 + 340 X - 2.380 = 0 


X = 6,4 segundos   ou   X = -74,4  segundos


H = 5 . 6,42 = 204,8 metros


 


 

Professora Vera Scofield
Respondeu há 7 meses
O observador leva 7 s para ouvir o som do balde batendo no fundo do poço. Então, podemos verificar dois tempos distintos: o tempo em que o balde atinge o fundo do poço e o tempo que leva para se ouvir o som do mesmo tocando o fundo do poço.

Retirando os dados do problemas:

Vs = 340 m/s
g = 10 m/s²
d = profundidade do poço.
Ta = tempo que o balde leva para atingir o fundo do poço
Tb = tempo que o som leva para retornar ao ponto inicial do qual o balde foi lançado.

Podemos dizer que:

Ta + Tb = 7s e que: Tb = 7 - Ta

A velocidade do som no ar é um MRU, então:

Vs = d/Tb

340 = d/Tb

d = 340 * Tb

O balde, caindo no poço, desenvolve um movimento de queda livre, isso é, MUV.

d = Vo + VTa + 1/2 * g * T²a

Como o balde caiu, não houve força externa agindo nele, consideremos que ela tenha saído do repouso. Nesse caso, consideramos apenas a distância percorrida e a aceleração da gravidade.

d = 1/2 * g * tT²a

d = 1/2 * 10 * T²a

d = 5 * T²a

Como a distância é a mesma, pois é profundidade do poço, podemos igualar as duas equações:

340 * Tb = 5 * T²a

* Lembrando que: Tb = 7 - Ta

340 (7 - Ta) = 5 * T²a

2380 - 340 * Ta = 5 * T²a

5T²a + 340 Ta - 2380 = 0 :(5)
T²a + 68 Ta - 476 = 0
? = b² - 4ac
? = 4624 + 1904
? = 6528
?? = ± 80,8

Ta = ( - b ± ??) / 2a

T'a = (- 68 + 80,8) / 2

T'a= 12,8 / 2
T'a = 6,4 s

T"a = ( - 68 - 80,8) / 2

T"a = - 148,8 / 2

T"a = - 74,4 (não convém)

Então: T = 6,4 s

Substituindo em qualquer das duas equações formadas:

d = 340 * (7 - Ta)

d = 340 * (7 - 6,4)

d = 340 * 0,6

d = 204 m




Professor Peter Agostini
Respondeu há 7 meses
Inicialmente precisamos escrever o tempo de queda para o balde alcançar o chão (MRU), e depois escreveremos o tempo de subida do som propagado. A soma de ambos é de 7s:
h=1/2.gt² (t1)
h=vt (t2)
(t1) + (t2) = 7

sustituindo:
raiz(2h/g) + h/v = 7

então, vamos substituir x² por h, para podermos resolver esta eq do 2º grau:
(1/v)x² + raiz(2/g)x = 7
Delta = (raiz(2/g))² - 4.(1/v).(-7) = 2/g + 28/v
Sabendo que g=10 e v=340:
Delta = 23/85

Logo,
x² = h = (2/g)/(1/170) + (23/85)/(1/170) = 34 + 46 = 80m

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