Olá Eive,
Apesar de o exercício não mencionar, para que o ele faça sentido é preciso assumir que as barras paralelas também são condutoras. Neste caso, o conjunto formado pela haste metálica, as barras paralelas e o fio de resistência nula formam uma espira retangular.
Repare que como foi dito que a haste metálica tem resistência elétrica de 2 ohms e todo o resto tem resistência desprezível, a espira, mesmo aumentando sua área como o deslizar da haste, terá sempre uma resistência elétrica constante.
Como há um campo magnético perpendicular ao plano inclinado. Podemos calcular o fluxo magnético na espira.
O fluxo magnético em um espira qualquer é dado por:
Phi = B A cos(teta)
Onde "Phi" é o fluxo magnético, "B" é o campo, "A" a área e "teta" o ângulo entre o campo e o plano da espira. Como neste exercício teta = 0 , o cos(teta) = 1, logo, o fluxo pode ser dado por:
Phi = B A
Repare que quando a haste metálica começar a deslizar no plano inclinado, a área da espira aumentará. Isto significa que o fluxo magnético nessa espira também aumentará. Então o fluxo é uma função do tempo:
Phi(t) = B A(t)
Pela lei de Lenz, toda vez que o fluxo magnético que passa por um espira variar, será gerado um campo magnético induzido, que tenderá a anular o efeito dessa variação do fluxo.
No caso do exercício, surgirá um campo que entrará dentro do plano inclinado, contrário ao campo B original. Logo existirá uma corrente elétrica (i) no sentido horário da espira retangular.
Pela lei de Faraday, a força eletromotriz (denotada aqui por E) é dada por:
E = -(delta Phi) / (delta t)
Repare que apesar do nome, "força eletromotriz" não é uma força, e sim uma tensão, dada em Volts.
Logo, podemos calcular a corrente elétrica que passa pela espira, pela lei de Ohm, como:
i = E/R, onde R é a resistência da espira.
Substituindo o valor de E:
i = -(delta Phi)/ {R (delta t)},
i = - {B( delta A)} / {R (delta t)}
i = - B/R {(delta A) /( delta t)}
Mas a área pode ser escrita como L vezes d, onde L é o tamanho da haste e d é a distância do filamento que une as barras até a haste. Repare que d é uma função do tempo, d= d(t). Substituindo a área A por Ld, teremos.
i = -B/R {(delta Ld)/(delta t)}
Repare que a na variação "delta Ld", L é sempre constante, é invariável, logo podemos escrever:
i = -BL/R {(delta d )/ (delta t)}
Repare agora que o que está entre colchetes é justamente a definição de velocidade, a variação de uma unidade de comprimento por uma unidade de tempo. Podemos então substituir por v.
i = -BLv/R -----> equação 1
(Onde o menos só indica o sentido da corrente. )
Como o exercício diz que a haste desce com velocidade constante, o somatório das forças na haste tem que ser igual a zero.
Fazendo um diagrama de forças do plano inclinado veremos que a força peso pode ser decomposta em duas componentes, uma paralela e outra perpendicular ao plano inclinado. A componente perpendicular é cancelada com a força normal, logo, sobra a componente paralela, que deve ser contrabalanceada por alguma outra força. No caso, será a força magnética que atua na haste. Essa força magnética existe devido ao movimento das cargas (corrente elétrica induzida), estarem em movimento, para baixo, e sob a ação de um campo magnético externo.
A força magnética genérica pode ser dada por:
Fm = q v B sen(teta)
onde o "q" é a carga, "v" a velocidade, "B" o campo magnético e "teta" é o ângulo entre os vetores do campo e da velocidade das cargas.
No caso, não temos uma única carga, e sim uma corrente, a corrente induzida na espira, então a força magnética em um pedaço delta L do fio pode ser escrita como:
Fm = i B (denta L) sen(teta)
onde delta L é o comprimento infinitésimo do fio.
Esta equação pode ser derivada da anterior, sabendo que
v = delta L / delta t
e que
i = delta q / delta t
No exercício, a velocidade é perpendicular ao campo, logo o seno é igual a 1. E se somarmos todas as as pequenas contribuições da força magnética ao longo dos infinitésimos do fio, teremos que:
Fm = i B L
onde L é o comprimento da haste.
Temos que igualar esta força a componente do peso.
Pelo diagrama de forças, vê-se que a componente paralela ao plano inclinado é igual a mgsen(30) = 5 10 0,5 = 25 N. Igualando com a força magnética teremos
i B L = 25 -------> equação 2
Substituindo a equação 1 na equação 2, sem o menos:
(B L v/R) B L= 25
B²L²v/R = 25
B² = 25R/(L²v)
Substituindo os valores dados pelo exercício,
B² = 25 (2)/[(1²)(2)]
B² = 25
B = 5 Teslas.
Exercício trabalhoso!
Até mais.
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