Componentes derivativos do plano inclinado x'';x'

Question

num plano inclinado encontramos a aceleração: g sen(a) = x''; o livro então sugere que para se encontrar a velocidade a partir do repouso se multiplique a equação obtida por 2x' e que se integre. qual a razão de multiplicar por 2x'? também não entendo o cálculo demostrado: 2x'x''=2x'gsen(a); então: d/dt(x'^2) = 2gsen(a) dx/dt. exemplo 2.1 livro dinâmica de partículas e sistemas, Stephen Thornton.

André A. · Accepted Answer

Boa Noite,  A razão de multiplicar a equação por 2x' é para aplicar a regra da cadeia na integração e obter a velocidade em função do tempo. Essa técnica é conhecida como método de separação de variáveis e ajuda a simplificar a integração de equações diferenciais.  O cálculo demonstrado é uma equação que relaciona as derivadas de duas funções, x' e x''. A equação é 2x'x''=2x'gsen(a), que pode ser simplificada para x''=gsen(a). A partir dessa equação, é possível derivar a expressão d/dt(x'^2) = 2gsen(a) dx/dt. Essa expressão relaciona a derivada de uma função x'^2 com a derivada de outra função dx/dt, através do valor de gsen(a).  Em resumo, a equação inicial relaciona as derivadas de duas funções, enquanto a expressão derivada a partir dela relaciona duas outras derivadas através de uma constante.  Fico à disposição para mais dúvidas, Att, Prof. André Luís

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