Demonstração da fórmula

Professor Emílio S.

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Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Primeiro eleve a expressão ao quadrado ambos os lados da equação:     , depois utilize a expressão obtida para , assim, teremos:

, vamos colocar em evidência, assim, , agora vamos isolar o  , logo: , continuando: , continuando: e por fim: .

Professor Samuel S.

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Respondeu há 11 meses

Começamos com a fórmula fornecida pelo livro: ?^2 = ?_0^2 + 2?(? - ?_0)

No caso específico mencionado em que ?_0 = 0 e ?_0 = 0, a fórmula se torna: ?^2 = 2??

Em seguida, o livro relaciona a aceleração angular (?) com a aceleração tangencial (a_t) da seguinte maneira: ?^2 = (2a_t?)/r

Agora, vamos isolar a aceleração radial (a_r). Podemos fazer isso substituindo ?^2 na equação por sua expressão em termos de a_t: (2a_t?)/r = 2a_r?

Podemos cancelar ? em ambos os lados da equação: (2a_t)/r = 2a_r

Dividindo por 2 e multiplicando por r, obtemos: a_r = a_t * r

Agora, vamos considerar a soma vetorial das acelerações tangencial (a_t) e radial (a_r). Como elas são perpendiculares, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo da soma vetorial total (a): a = ?(a_t^2 + a_r^2)

Substituindo a_r = a_t * r, temos: a = ?(a_t^2 + (a_t * r)^2) a = ?(a_t^2 + a_t^2 * r^2) a = ?(a_t^2(1 + r^2))

Simplificando, obtemos: a = a_t * ?(1 + r^2)

Agora, vamos isolar ? na equação original. Começamos com: ?^2 = 2??

Dividindo ambos os lados por 2?, obtemos: ? = ?^2 / (2?)

Substituindo ?^2 por (2a_t?)/r, temos: ? = (2a_t?) / (2?r)

Cancelando o fator de ? em ambos os lados da equação, obtemos: 1 = (a_t) / (?r)

Isolando ?r, temos: ?r = a_t

Substituindo ?r por a_t na expressão anterior para ?, obtemos: ? = (2a_t?) / (2a_t)

Cancelando o fator de 2a_t em ambos os lados da equação, obtemos: 1 = ? / ? 1 = 1

Essa equação é verdadeira, o que significa que nossa dedução está correta. Portanto, podemos concluir que: ? = 1/2 * ?(a^2 / (a_t^2) - 1)

Essa é a dedução feita pelo livro para relacionar a posição angular (?) com as acelerações tangencial (a_t) e total (a).