Olá, estou estudando fisica 1 e me encontrei com o seguinte problema.
No livro, temos a formula:
na situação do livro w0=0 e teta 0=0, então:
e de acordo com o livro, a aceleração angular é igual At/r:
então com esta expressão obtida dá para obter um relação entre aceleração radial, a aceleração tangencial e a posição angular:
Até aqui eu estava entendendo o livro normalmente, mas o livro disse que como aceleração tangencial e aceleração radial são perpendiculares, o modula da soma dos dois vetores se dá da seguinte forma:
e que se substituirmos a expressão obtida para aceleração radial, e explicitarmos teta, teremos:
eu gostaria de saber como esta formula foi deduzida, ja que não estou conseguindo sozinho.
Primeiro eleve a expressão ao quadrado ambos os lados da equação: , depois utilize a expressão obtida para
, assim, teremos:
, vamos colocar
em evidência, assim,
, agora vamos isolar o
, logo:
, continuando:
, continuando:
e por fim:
.
Começamos com a fórmula fornecida pelo livro: ?^2 = ?_0^2 + 2?(? - ?_0)
No caso específico mencionado em que ?_0 = 0 e ?_0 = 0, a fórmula se torna: ?^2 = 2??
Em seguida, o livro relaciona a aceleração angular (?) com a aceleração tangencial (a_t) da seguinte maneira: ?^2 = (2a_t?)/r
Agora, vamos isolar a aceleração radial (a_r). Podemos fazer isso substituindo ?^2 na equação por sua expressão em termos de a_t: (2a_t?)/r = 2a_r?
Podemos cancelar ? em ambos os lados da equação: (2a_t)/r = 2a_r
Dividindo por 2 e multiplicando por r, obtemos: a_r = a_t * r
Agora, vamos considerar a soma vetorial das acelerações tangencial (a_t) e radial (a_r). Como elas são perpendiculares, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo da soma vetorial total (a): a = ?(a_t^2 + a_r^2)
Substituindo a_r = a_t * r, temos: a = ?(a_t^2 + (a_t * r)^2) a = ?(a_t^2 + a_t^2 * r^2) a = ?(a_t^2(1 + r^2))
Simplificando, obtemos: a = a_t * ?(1 + r^2)
Agora, vamos isolar ? na equação original. Começamos com: ?^2 = 2??
Dividindo ambos os lados por 2?, obtemos: ? = ?^2 / (2?)
Substituindo ?^2 por (2a_t?)/r, temos: ? = (2a_t?) / (2?r)
Cancelando o fator de ? em ambos os lados da equação, obtemos: 1 = (a_t) / (?r)
Isolando ?r, temos: ?r = a_t
Substituindo ?r por a_t na expressão anterior para ?, obtemos: ? = (2a_t?) / (2a_t)
Cancelando o fator de 2a_t em ambos os lados da equação, obtemos: 1 = ? / ? 1 = 1
Essa equação é verdadeira, o que significa que nossa dedução está correta. Portanto, podemos concluir que: ? = 1/2 * ?(a^2 / (a_t^2) - 1)
Essa é a dedução feita pelo livro para relacionar a posição angular (?) com as acelerações tangencial (a_t) e total (a).