Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com um

Question

Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de 60 m/s. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de 80 m/s. nsiderando g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar, calcule:

Profes A. · Accepted Answer

Vamos analisar o movimento da esfera lançada inicialmente e da segunda esfera que é lançada após 3 segundos. Precisaremos encontrar a altura de ambas as esferas em função do tempo e, em seguida, determinar em que momento as duas esferas se encontram (ou se a segunda ultrapassa a altura da primeira).

Informações dadas:

Primeira esfera (E1):
Velocidade inicial ( $v_{0_{1}}$ ) = 60 m/s
Aceleração ( $a$ ) = -10 m/s² (devido à gravidade)
Segunda esfera (E2):
Velocidade inicial ( $v_{0_{2}}$ ) = 80 m/s
É lançada 3 segundos depois da primeira esfera.

Movimento da Primeira Esfera (E1)

A altura da primeira esfera em relação ao tempo $t$ (em segundos) desde seu lançamento é dada pela fórmula do movimento uniformemente variado:

h_{1} (t) = h_{0_{1}} + v_{0_{1}} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Assumindo que a altura inicial ( $h_{0_{1}}$ ) é 0 m (a partir do ponto de lançamento):

h_{1} (t) = 0 + 60 t - \frac{1}{2} \times 10 t^{2}

h_{1} (t) = 60 t - 5 t^{2}

Movimento da Segunda Esfera (E2)

A segunda esfera é lançada 3 segundos após a primeira, ou seja, quando $t = 3 s$ . Quando a segunda esfera é lançada, o tempo para ela será $t^{'} = t - 3$ , onde $t$ é o tempo total desde o lançamento da primeira esfera.

A altura da segunda esfera em relação a $t$ é dada por:

h_{2} (t) = h_{0_{2}} + v_{0_{2}} (t - 3) + \frac{1}{2} a (t - 3)^{2}

Assumindo que sua altura inicial ( $h_{0_{2}}$ ) é 0 m:

h_{2} (t) = 0 + 80 (t - 3) - \frac{1}{2} \times 10 (t - 3)^{2}

h_{2} (t) = 80 (t - 3) - 5 (t - 3)^{2}

h_{2} (t) = 80 t - 240 - 5 (t^{2} - 6 t + 9)

h_{2} (t) = 80 t - 240 - 5 t^{2} + 30 t - 45

h_{2} (t) = - 5 t^{2} + 110 t - 285

Encontrando o instante de encontro

Para encontrar o instante em que as duas esferas se encontram, devemos igualar (h_1(t)) e (h_2(t)):

60 t - 5 t^{2} = - 5 t^{2} + 110 t - 285

Cancelando os $5 t^{2}$ de ambos os lados, obtemos:

60 t = 110 t - 285

Isolando $t$ :

285 = 110 t - 60 t

285 = 50 t

t = \frac{285}{50} = 5.7 s

Conclusão

As duas esferas se encontram aproximadamente $5.7$ segundos após o lançamento da primeira esfera. Se precisa de mais alguma informação, por favor, avise-me!

Vinicius R. · Answer

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Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com um

Informações dadas:

Movimento da Primeira Esfera (E1)

Movimento da Segunda Esfera (E2)

Encontrando o instante de encontro

Conclusão

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