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Em um movimento harmônico simples, temos a seguinte função que representa a posição “x” de um corpo (em metros) para um certo instante “t” (em segundos): x(t) = 10cos [(8?/3) t ?/3]

A. Determine a posição desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s

B. Determine a velocidade desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s;

C. Determine a aceleração desse corpo para os instantes t = 0 e t = 1 s;

D. Após o início do movimento, qual é o primeiro instante “t” para o qual a aceleração do corpo
vale ZERO?

Jonatan T.
Jonatan
perguntou há 2 meses

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Professora Viviane S.
Respondeu há 2 meses
A. Basta substituir os valores para t dados na equação x(t). B. Basta derivar x(t) com relação a t uma vez e substituir os valores para t dados. C. Basta derivar x(t) com relação a t duas vezes seguidas e substituir os valores dados para t. D. Iguale a(t) a zero. Se a derivada segunda de x(t) resultar em seno, o argumento deve valer npi; se a derivada segunda se x(t) resultar em cosseno, o argumento deve valer (n+1/2)pi; n=0,1,2,...
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Professor Luis G.
Respondeu há 2 meses

Olá, Jonatan.

A sua função da posição do corpo x em relação ao tempo t é dada por

x(t) = 10\cos\left(\frac{8\pi}{3}t\right) ---------------------------------(1)

Imagino que seja essa a função, de qualquer maneira a solução se dá mesma maneira, independente da função.

 

##############

### TEORIA ###

##############

 

Imagine que você está analisando o movimento de um corpo. Você quer saber como esse corpo se movimenta com o passar do tempo. Então você monta um gráfico da posição x pelo tempo t(x \ \text{vs.} \ t). Assumindo uma origem - a posição que se encontra o corpo quando você começa a medida, x(t = 0) = x_0 - você começa a anotar o deslocamento desse corpo com o passar do tempo. Então para cada medida de tempo, temos uma posição, x(t_1) = x_1, \quad x(t_2) = x_2, \quad x(t_3) = x_3 e assim por diante. Montado o gráfico, você pode perceber que o movimento do corpo conicide com uma função matemática. Quando o corpo desenvolve um movimento periódico livre de atritos dizemos que ele descreve um movimento harmônico simples que são funções de seno e co-seno. Com isso podemos estimar a posição do corpo para qualquer tempo.

A partir desse momento temos uma função x(t) que representa a posição do corpo em função do tempo. Sendo assim, a velocidade do cormpo com o passar do tempo, por definição, será

v(t) \equiv \frac{d}{dt}x(t)------------------------------------------------(2)

A velocidade instantânea é dada pela variação infinitesimal da poisção com respeito ao tempo.

Da mesma maneira, a aceleração será dada por

a(t) \equiv \frac{d}{dt}v(t) -----------------------------------------------(3)

ou

a(t) = \frac{d^2}{dt^2}x(t)---------------------------------------------(4)

A aceleração instantânea é dada pela variação infinitesimal da velocidade com respeito ao tempo. O que equivale  derivar a função de posição duas vezes.

 

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### RESOLUÇÃO ###

##################

 

Se a função de posição do corpo é dada pela Eq. (1), então a velocidade e a aceleração serão dadas respectivamente por

v(t) = 10 \times \frac{8\pi}{3}\left( -\sin\left(\frac{8\pi}{3}t\right)\right)

v(t) = -\frac{80\pi}{3}\sin\left(\frac{8\pi}{3}t\right) ---------------------------------(5)

e

a(t) = -\frac{640}{9}\pi^2 \cos\left(\frac{8\pi}{3}t\right) ----------------------------(6)

 

Para resolver as quest?os de A a C, basta fazer

x(0) = 10\cos(0)

e

x(1) = 10\cos\left(\frac{8\pi}{3}\right)

e do mesmo modo para a velocidade e aceleração.

Para resolver a alternativa D você deve fazer a(t) = 0, ou seja, pela Eq. (6)

-\frac{640}{9}\pi^2 \cos\left(\frac{8\pi}{3}t\right) = 0

 

* Lembre-se que, se

\cos(A) = B

então

A = \arccos(B)

 

** E que a função co-seno é nula a cada meio arco (\pi) começando em \pi / 2, ou seja, sempre que o argumento for

\frac{\pi}{2} + n\pi \ , \quad \text{com} \quad n = 0, \ 1, \ 2, \ ...

*** E também não se esqueça de configurar sua calculadora para radianos.

 

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### SOLUÇÃO ###

################

 

A.

 x(0) = 10 \ , \quad x(1) = -5

 

B.

 v(0) = 0 \ , \quad v(1) = -\frac{40\pi}{\sqrt{3}}

 

C.

 a(0) = -\frac{640\pi^2}{9} \ , \quad a(1) = \frac{320\pi^2}{9}

 

D.

 t = \frac{3}{16}

 

Espero ter ajudado

Bons estudos!

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