Não consegui resolver essa questão

Question

Considere um lançador de bolinhas de tênis, colocado em um terreno plano e horizontal. O lançador é posicionado de tal maneira que as bolinhas são arremessadas de 80 cm do chão em uma direção que faz um ângulo de 30 graus com a horizontal. Desconsidere efeitos de rotação da bolinha e resistência do ar, a bolinha deve realizar uma trajetória parabólica. Sabemos também que a velocidade de lançamento da bolinha é de 10,8 km/h. Qual é o módulo velocidade da bolinha quando ela toca o chão? Se necessário, considere q a aceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2 e que uma bolinha de tênis tenha 50 g de massa.  A) 3 m/s B) 5 m/s C) 6 m/s D)14,4km/h E) 21,6km/h

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver essa questão, primeiro vamos converter a velocidade inicial de lançamento (10,8 km/h) para metros por segundo (m/s):

10, 8 km/h = \frac{10, 8}{3, 6} m/s = 3 m/s

A velocidade inicial pode ser decomposta em suas componentes horizontal e vertical. Usando seno e cosseno a partir do ângulo de 30 graus:

Componente horizontal ( $v_{0 x}$ ):

v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos (30^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2, 598 m/s

Componente vertical ( $v_{0 y}$ ):

v_{0 y} = v_{0} \cdot \sin (30^{\circ}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1, 5 m/s

Agora precisamos calcular a velocidade da bolinha no momento em que ela toca o chão. Quando a bolinha atinge o chão, a componente vertical da velocidade é encontrada usando a equação da cinemática:

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 \cdot a \cdot h

onde: - $v_{y}$ é a velocidade vertical final - $v_{0 y} = 1, 5 m/s$ (componente vertical inicial) - $a = - 10 {m/s}^{2}$ (aceleração devido à gravidade, negativa porque atua para baixo) - $h = - 0, 8 m$ (altura inicial em relação ao solo, também negativa pois a bolinha cai para baixo).

Colocando os valores na equação:

v_{y}^{2} = (1, 5)^{2} + 2 \cdot (- 10) \cdot (- 0, 8)

Calculando cada parte:

v_{y}^{2} = 2, 25 + 16 = 18, 25

Assim, tirando a raiz quadrada para encontrar $v_{y}$ :

v_{y} = \sqrt{18, 25} \approx 4, 27 m/s

Agora, para encontrar a velocidade total da bolinha no momento do impacto, utilizamos as componentes horizontal e vertical da velocidade. Como a componente horizontal não sofre variação (desconsiderando resistência do ar), temos:

v_{x} = v_{0 x} \approx 2, 598 m/s

Agora usamos o teorema de Pitágoras para encontrar a velocidade resultante:

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

Substituindo os valores:

v = \sqrt{(2, 598)^{2} + (4, 27)^{2}}

Calculando:

v = \sqrt{6, 747 + 18, 25} = \sqrt{25} = 5 m/s

Convertendo para km/h:

5 m/s = 5 \cdot 3, 6 km/h = 18 km/h

Esse resultado não existe nas opções. Vamos revisar se nosso cálculo confere. Ao revisar, a componente vertical foi calculada corretamente, mas quando considerarmos o total, devemos manter na unidade de m/s para comparar.

A resposta correta ao final deve ser de 5 m/s, que corresponde à alternativa B. Portanto, a resposta correta é:

B) 5 m/s.

Thiago V. · Answer

Oi, Carol. Tudo bom?  Esse é um exercício clássico de movimento balístico ou lançamento oblíquo.  Nesse tipo de movimento composto, precisamos analisar o deslocamento, velocidade e aceleração da partícula ao longo da trajetória toda, em duas dimensões: horizontal e vertical. Na maioria dos casos, a aceleração gravitacional é a única agindo na direção vertical e não há aceleração na horizontal, como no seu exemplo em que há ausência de atrito com o ar e não há momento angular. Casos assim possuem MUV (Movimento Uniformemente Variado) na vertical e MU (Movimento Uniforme) na horizontal. Assim, a velocidade horizontal não se altera ao longo do trajeto e a velocidade na vertical é desacelerada quando a bolinha sobe e acelerada quando a bolinha desce.  Vamos definir o sistema de eixos cartesianos com a origem no chão logo abaixo do lançador, com o eixo x sendo positivo para direita e o eixo y sendo positivo para cima.  No instante inicial, a bolinha é lançada com uma velocidade V0 de 10,8 km/h ou 3 m/s a 30º com a horizontal. A velocidade pode ser decomposta nos seus componentes horizontal (V0x) e vertical (V0y). Nesse caso, a velocidade de 3 m/s é a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são a componente horizontal e vertical. O ângulo da hipotenusa com o cateto horizontal é de 30º. As velocidades serão:  V0x = V0 cos(30º) = V0 raiz(3) / 2 = 2,6 m/s  V0y = V0 sen(30º) = V0 1/2 = 0,5 V0 = 1,5 m/s  Sua bolinha é lançada com uma velocidade inicial de 10,8 km/h ou 3 m/s, desacelera na subida até o ponto de altura máxima e acelera na descida a partir do ponto de altura máxima. Quando a bolinha atinge a mesma altura do lançamento, o módulo da sua velocidade é o mesmo, ou seja, 3 m/s.  Contudo, ela continua caindo e acelerando por mais 0,8 m até atingir o chão. Na vertical, então, a bolinha acelera até a velocidade de:  Vy² = V0y² + 2 g h  Vy² = (1,5)² + 2 * 10 * 0,8  Vy = 4,3 m/s  Como a velocidade horizontal é a mesma no trajeto todo. O módulo da velocidade final será numericamente igual à hipotenusa do novo triângulo retângulo formado pelas velocidade horizontal e vertical:  V² = Vx² + Vy²   V² = V0x² + Vy² (Vx = V0x)  V² = (2,6)² + (4,3)²  V = 5 m/s (alternativa B)  * Você não precisava ter ''aberto'' as frações e as raiz de três, como eu fiz. Chegaria ao mesmo resultado.  Espero ter ajudado! Fique à vontade para marcar uma aula. Podemos explorar melhor esses conceitos e resolver mais exercícios. Se puder escolher minha resposta como a melhor, fico agradecido!  Att., Prof. Thiago

Felipe A. · Answer

Marco S. · Answer

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