Questão de dinâmica das rotações

Observe o desenho anexo. 

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Chamaremos o angulo de Teta =T, para facilitar a digitacao,

Quando a esfera rola e está a um angulo teta (entre a linha que une a esfera e o centro do hemisferio e a linha vertical), temos as decomposoições das forças atuantes:

O peso mg se decompoe nas componentes mg.cosT(que empurra a esfera para o centro do hemisferio) e mg.senT que acelera a esfera na direcao perpendicular ao raio do hemisferio. Com a trajetoria circular temos uma força centrifuga mV²/R que empurra a esfera na direção radial para fora. Na direção da forca centrifuga ainda teríamos a forca normal N de contacto com a superficie, porem no momento em que a esfera sai da superficie (decola), esta força é zero pois nao existe mais contacto, portanto nao desenhamos esta força.

No momento exato que a esfera decola (perde contacto com hemisferio) temos um equilibrio de forças na direcao radial;

mg.cosT= mV²/R    (equaçao 1)

onde as variaveis desconhecidas sao angulo T e velocidade V.

a segunda equacao obtemos, observando a conservação de energia no momento que a esfera decola:

Como nao temos forças dissipativas a energia se conserva,

Energia inicial (com a esfera na parte mais alta e parada) = Energia no momento da decolagem (com a esfera na posicao do desenho com angulo teta)

Energia Potencial Inicial + Energia Cinetica inicial = Energia Potencial (na decolagem) + Energia Cinetica (na decolagem)

mgR+Zero = mg.R.cosT+ (1/2) mV²+(1/2)I.w² 

Veja que a energia cinetica do lado direto da equacao, tem duas componenetes, uma de translacao ((1/2) mV²) e uma de rotação ((1/2)I.w²  ), pois a esfera rola. Alem disto no lado direito da equaçao esta somado a energia potencial na posição no momento da decolagem ( mg.R.cosT)

I = momento de inercia da esfera em relacao ao seu eixo do centro de massa

w = velocidade angular de rotacao da esfera em torno do eixo de centro de massa

Entao a esfera translada e roda simultaneamente. 

Como nao ha deslizamento o rolamento é sincronizado com a translação do centro de massa, temos

w.b= V, entao w = V/b , podemos substituir na equação anterior para eliminar w (velocidade angular da esfera),

ficamos

mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV²+(1/2)I.(V/b)² 

como I é conhecido para uma esfera maciça de massa m e raio b,  ele vale I=2/5 m.b²

substituindo I na equacao anterior temos:

mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV²+(1/2)(2/5).mb².(V/b)² 

ou simplificando,

mgR = mg.R.cosT+ (1/2) mV²+(1/5).m.(V)²

mgR = mg.R.cosT+ (7/10) mV²      (equação 2), onde as incognitas sao velocidade V e angulo T (Teta).

agora so resolver o conjunto de 2 equaçoes, com duas incognitas,

da equacao 1, temos que

mgRCosT = mV²

Substituindo na equaçao 2 temos,

mgR = mV²+ (7/10) mV² 

ou mgR =  (17/10) mV²

entao  mV²= (10/17).mgR

substituindo na equação 1 temos,

mg.cosT= mV²/R = 10/17mg

cortando mg de ambos os lados temos

cosT= 10/17  entao, 

T = cos^-1(10/17) = 54 graus (aproximadamente), entao a esfera decola quando o angulo Teta for de 54 graus.

para calcular a velocidade usamos a equação acima

mgR =  (17/10) mV² 

cortando m de ambos os lados temos

gR =  (17/10) V² 

V² = (10/17) gR

V = , esta é a velocidade da esfera (do seu centro de massa) no momento que separa do hemisferio.

Abraços

Joao Carlos