Questão mecânica - obf 2018

A bolinha chega ao solo com uma velocidade

v₀ = √2gH;

usando conservação de energia temos que a bolinha sai do solo com velocidade v₁ dada por:

mv₁²/2 = mgh, v₁ = √2gh;

sendo o coeficiente de restituição dado por:

v₁/v₀ = √ (2gh/2gH) = e ;

e = √(h/H);

temos que:

v₁ = ev₀, v₂ = e²v₀, v₃ = e³v₀...... v_n = eⁿ*v₀,

por conservação de energia a altura h_n sera dada por:

mgh_n = mv_n²/2 ;

h_n = v_n²/2g ;

h_n = e²ⁿ*v₀²/2g ;

h_n = (h/H)ⁿ*2gH/2g ;

h_n = (h/H)ⁿ*H ;

h_n = hⁿ*H^(1-n) 

Podemos resolver essa questão pelo balanço de energia mecânica. Se não houvesse nenhuma força dissipativa, a condição ideal, o objeto cairia de uma altura H, atingiria o chão e voltaria para a mesma altura H. Porém de acordo com o enunciado isso não acontece. Na posição A, a energia mecânica é: Em (A) = mgH Na posição B, a energia mecânica é: Em (B) = mgh Assim podemos concluir que a energia dissipada foi Ed = Em(A) - Em(B) = mg(H-h) Para resolver a questão vamos precisar supor que razão entre a energia dissipada é a mesma a cada queda. Assim Ed (1) / Em(A) = (H-h)/H Na segunda queda, a energia dissipada será: Ed(2) / Em(B) = (H-h)/H Ed(2) = ((H-h)/H )*mgh A altura atingida após a segunda queda será: Em (2) = Em(B) - Ed(2) = mgh - (H-h)/H *mgh Em(2) = mgh*((1-(H-h)/H)) Em(2) = mg h^2/H A altura após a segunda queda será h^2/H Na terceira queda a energia mecânica será : Em(3) = Em(2) - Ed(3) = mg(h^2)/H - mg(h^2)/H * (H-h)/H Em(3) = (mg(h^2)/H)*(1-(H-h)/H) Em(3) = mgh(h/H)^2 A altura será portanto h*(h/H)^2 Por indução, podemos afirmar que após N quedas: Em(N) =mgh*(h/H)^(N-1) A altura será h* (h/H)^(N-1) Perceba que isso é coerente, visto que quando N tende ao infinito, (h/H)^(N-1) tende a zero, pois h/H < 1.