Questão mecânica - obf 2018

A figura abaixo (NO LINK) mostra dois níveis de referência A e B, localizados em relação ao solo pelas distâncias verticais H e h respectivamente. Um corpo de massa m é abandonado do nível A e após colidir com o solo eleva-se até o nível B e assim sucessivamente o corpo quica várias vezes com o solo elevando-se a novos níveis.
b) a altura do nível atingido por este corpo após N colisões sucessivas.

https://docs.google.com/document/d/16ADwGKcT4Sq-OPR-CscCN9irGf9lnhPpBVpAfftp-pg/edit?usp=sharing

Lucas G.
Lucas
perguntou há 2 meses

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Professor Renan S.
Respondeu há 2 meses

A bolinha chega ao solo com uma velocidade


v0 = √2gH;


usando conservação de energia temos que a bolinha sai do solo com velocidade v1 dada por:


mv1²/2 = mgh, v1 = √2gh;


sendo o coeficiente de restituição dado por:


v1/v0 = √ (2gh/2gH) = e ;


e = √(h/H);


temos que:


v1 = ev0, v2 = e²v0, v3 = e³v0...... vn = en*v0,


por conservação de energia a altura hn sera dada por:


mghn = mvn²/2 ;


hnvn²/2g ;


hn = e2n*v0²/2g ;


hn = (h/H)n*2gH/2g ;


hn = (h/H)n*H ;


hn = hn*H(1-n) 

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Professor Samuel F.
Respondeu há 1 mês
Podemos resolver essa questão pelo balanço de energia mecânica.

Se não houvesse nenhuma força dissipativa, a condição ideal, o objeto cairia de uma altura H, atingiria o chão e voltaria para a mesma altura H. Porém de acordo com o enunciado isso não acontece.

Na posição A, a energia mecânica é:

Em (A) = mgH


Na posição B, a energia mecânica é:

Em (B) = mgh

Assim podemos concluir que a energia dissipada foi

Ed = Em(A) - Em(B) = mg(H-h)

Para resolver a questão vamos precisar supor que razão entre a energia dissipada é a mesma a cada queda.

Assim Ed (1) / Em(A) = (H-h)/H

Na segunda queda, a energia dissipada será:

Ed(2) / Em(B) = (H-h)/H
Ed(2) = ((H-h)/H )*mgh

A altura atingida após a segunda queda será:

Em (2) = Em(B) - Ed(2) = mgh - (H-h)/H *mgh

Em(2) = mgh*((1-(H-h)/H))
Em(2) = mg h^2/H

A altura após a segunda queda será h^2/H

Na terceira queda a energia mecânica será :

Em(3) = Em(2) - Ed(3) = mg(h^2)/H - mg(h^2)/H * (H-h)/H
Em(3) = (mg(h^2)/H)*(1-(H-h)/H)
Em(3) = mgh(h/H)^2

A altura será portanto h*(h/H)^2

Por indução, podemos afirmar que após N quedas:

Em(N) =mgh*(h/H)^(N-1)

A altura será h* (h/H)^(N-1)

Perceba que isso é coerente, visto que quando N tende ao infinito, (h/H)^(N-1) tende a zero, pois h/H < 1.

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