Relação diametro da roda e velocidade final

Velocidade média é a relação entre a distância percorrida e o tempo de percurso. Isso vale para qualquer tipo de movimento. No caso da roda do patinete, estamos lidando com um movimento muito peculiar que é o Movimento Circular Uniforme (assumindo que v = 25 km/h durante todo o percurso). Para resolver um problema envolvendo o MCU (não o da Marvel), precisamos relacionar a distância percorrida com o diâmetro da roda (d) e o número de revoluções. Assim: 

Observe que a distância linear nada mais é do que o perímetro () da roda multiplicado por () revoluções. Uma revolução, um perímetro de distância percorrida, 2 revoluções, 2 perímetros, e assim por diante.

Mas vamos ao questionamento em si: qual a relação entre a velocidade linear (seja em km/h, m/s, pol./min., etc) com o diâmetro da roda?

Ora, se temos a distância percorrida e o tempo de percurso , basta fazer:

ou seja, 

Lembrando que esse resultado, embora esteja correto, pois possui dimensão de velocidade, ainda não atende os parâmetros da pergunta (unidade de km/h e pol.).

Agora, definir com cuidado é muito importante aqui, pois nesse exercício, tudo depende da dimensão da velocidade angular. Em português, podemos nos referir a mais de uma grandeza para significar uma mesma dimensão — quão rápido uma roda gira em média — frequência, rotações por minuto. E por isso é muito fácil confundir as unidades e errar os cálculos. Aqui eu prefiro utilizar em vez de para definir a taxa de rotação porque é mais intuitivo, então devemos recordar:

dado em rotações por minuto,  e por isso tem unidade de minutos. Se eu houvesse utilizado ,  teria unidade de segundos, o que talvez simplificasse as contas, com o prejuízo da evidência da definição da distância linear . Afinal, é muito mais fácil imaginar um círculo inteiro do que apenas um arco de 1 rad. Por outro lado, como a pergunta não usa unidade de segundos, ainda precisaria ser convertido para outra unidade.

Outra consideração é que o diâmetro da roda é medido em polegadas, então, além de se fazer adaptações à dimensão de frequência, deve-se fazer também à de diâmetro.  Assim,

e

Em suma, simplesmente multiplicamos a frequência por 3600 s, o que resulta justamente em quantas vezes a roda gira em 1 hora. Se a roda gira 3600 vezes em uma hora (1 vez por segundo), então a velocidade linear deve ser 3600 vezes o perímetro da roda. Agora, vamos supor que a frequência seja constante. Se aumentarmos o diâmetro da roda em x polegadas, 

a velocidade terá um acréscimo de

A linearidade da relação fica evidente quando dividimos por :

Por isso é comum expressar acréscimos (ou decréscimos) em função do diâmetro, de maneira percentual. Se sabemos que o diâmetro novo será 10% maior que o diâmetro antigo, então concluímos que a velocidade também será 10% maior.

Para resolver o seu exemplo, é mais prático utilizar esse macete. Como a velocidade é diretamente proporcional ao diâmetro da roda, se uma roda de 8,5 pol. gira a 25 km/h, uma roda com 10 pol. deve girar a uma velocidade tantas vezes maior (ou menor) quanto for a razão entre o diâmetro das rodas. Assim:

  km/h

km/h

Portanto, a velocidade será aproximadamente 18% maior.

Espero ter ajudado. Abraço.