Uma pedra de massa m,sob açao da aceleração da gravidade -gk está suspensa por um fio de comprimento l e realiza uma orbita circular com velocidade angular constante w em plano horizontal. Sua posição num instante de tempo t é dada pelo vetor
r(t)-lsenθcos(wt)i+lsenθ(wt)j, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da circunferencia e θ é o angulo entre o fio e o vetor -k. observe ainda que o vetor k corresponde ao vetor normal do plano que contem o movimento da particula. Nos itens a seguir ,expresse sua resposta em termos dos dados do problema e especifique as forças atuantes.
a) determine a velocidade e aceleração da particula,ambas como funções do tempo t;
b)determine as forças que atuam sobre a particula;
c)determine a tensão no fio como funçao do tempo t;
d) expresse o angulo θ em termos das outras grandezas do problema;
Olá, tudo bem?
A posição da pedra em um instante t é dada por: r(t)=lsen?cos(wt)i+lsen?sen(wt)j
a)
v=dr/dt , logo derivando r(t) em função de t pela regra da cadeia, temos:
v(t)=-lwsen?sen(wt)i+lwsen?cos(wt)j
lembrando que d(cos(wt))/dt=-sen(wt)w e d(sen(wt))/dt=wcos(wt)
a=dv/dt, lgo derivando v(t) em função do tempo t pela regra da cadeia temos:
a(t)=-lw²sen?cos(wt)i-lw²sen?sen(wt)j
b e c)
Atuam a força Peso P=-mgk, e a tração na corda direcionada da pedra para a origem.
As coordenadas da pedra em um instante são: (lsen?cos(wt),lsen?sen(wt), -lcos?).
Para determinar o vetor unitário na direção da tração, basta determinar o vetor unitário na direção da corda:
( lsen?cos(wt),lsen?sen(wt), -lcos?)-(0,0,0) é o vetor na direção da corda que aponta para pedra.
Dividindo esse vetor pelo seu módulo obtemos o vetor unitário na direção da tração:
(lsen?cos(wt),lsen?sen(wt),- lcos?)/l=(sen?cos(wt),sen?sen(wt),- cos?).
Agora vamos calcular o módulo de T:
Tsen?=mv²/r
T=ml²sen²?w²/lsen?=mlw²sen?
Assim a Tração T em função do tempo é -mlw²sen?(sen?cos(wt)i+sen?sen(wt)j- cos?k), pois apresenta sentido oposto em relação ao vetor unitário que aponta na direção da pedra.
O módulo da Tração é constante, o que muda é sua direção.
e)
Tsen?=mv²/r, mas Tcos?=mg (em módulo), logo tg?=v²/gr=l²w²sen²?/glsen?=lsen?w²/g.Assim temos que cos?=g/w²l e ?=arccos(g/w²l), com 0<g/w²l<=1
No lugar do símbolo ?, entenda o ângulo teta, por favor.
Qualquer dúvida sobre a resolução, estou à disposição.
Até mais.
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