Em um tetraedro regular de vértices ABCD, M é o ponto médio

Para determinar o cosseno do ângulo $\angle NMA$ em um tetraedro regular, precisamos entender algumas propriedades geométricas. Em um tetraedro regular de lado $a$, todos os lados são iguais e os ângulos internos entre quaisquer duas arestas que se encontram em um vértice são os mesmos.

Passo 1: Coordenadas dos pontos

Podemos colocar o tetraedro regular no espaço tridimensional com vértices:

• (A = (0, 0, 0))
• (B = (a, 0, 0))
• (C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right))
• (D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}a\right))

Estes pontos foram escolhidos para que o tetraedro tenha simetria regular e todas as arestas tenham comprimento $a$.

Passo 2: Coordenadas dos pontos médios

As coordenadas de $M$ (ponto médio de $BC$) e $N$ (ponto médio de $CD$) são:

• (M = \left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right))
• (N = \left(\frac{\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{2\sqrt{3}}}{2}, \frac{0 + \sqrt{\frac{2}{3}}a}{2}\right))

Simplificando a expressão para $N$:

(N = \left(\frac{a}{2}, \frac{a(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})}{4}, \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a(\sqrt{3} + \sqrt{3}/3)}{4}, \frac{a\sqrt{2/3}}{2}\right))

Passo 3: Vetores

Calcule os vetores $\overrightarrow{AM}$ e $\overrightarrow{AN}$:

• (\overrightarrow{AM} = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right))
• (\overrightarrow{AN} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a(\sqrt{3} + \sqrt{3}/3)}{4}, \frac{a\sqrt{2/3}}{2}\right))

Passo 4: Fórmula do cosseno

Use a fórmula do produto escalar para determinar o cosseno do ângulo:

O cálculo do produto escalar é:

Agora, calcular os módulos dos vetores:

Após calcular estes, substutui-se os valores na fórmula do produto escalar para encontrar $\cos \theta$.

Devido à simetria do tetraedro, a expectativa é que $\angle NMA$ seja (\cos^{-1}(\frac{1}{3})), que é um ângulo conhecido em sólidos regulares.

Assim, o cosseno do ângulo $\angle NMA$ num tetraedro regular será provavelmente $\frac{1}{3}$ ou similar.