Para responder adequadamente à questão, precisamos entender os contextos relacionados aos "problemas" mencionados no texto — a agitação militar e a questão da abolição — dentro do período da década de 1880 durante o governo de D. Pedro II.
Vamos analisar as opções:
(A) A publicação do Manifesto Republicano por dissidentes do Partido Conservador, criticando o fato de o Brasil ser a única monarquia da América. - Embora o Manifesto Republicano tenha sido uma crítica à monarquia, ele foi publicado em 1870 e não durante a década de 1880. Além disso, o problema apontado no texto está mais especificamente relacionado à agitação militar e à questão abolicionista.
(B) O movimento tenentista, que dava ênfase à ampliação do sistema de educação do país e propunha o estabelecimento de uma república positivista, controlada pelos militares. - O tenentismo é um movimento que se desenvolveu nas décadas de 1920 e 1930, muito depois do período em questão (década de 1880).
(C) O estímulo à formação de famílias escravas, após a aprovação da Lei Eusébio de Queirós, a fim de aumentar a oferta de mão de obra nas fazendas de café do Sudeste brasileiro. - A Lei Eusébio de Queirós foi aprovada em 1850, e embora relacionável à questão abolicionista, essa alternativa não encaixa cronologicamente com a década de 1880 e não aborda a agitação militar.
(D) O descontentamento dos militares, que se opunham ao sistema político oligárquico, sustentado, entre outros meios, pelo voto de cabresto e pelas fraudes eleitorais. - Essa alternativa se aplica melhor ao Brasil do início do século XX e não à década de 1880. Além disso, não menciona diretamente a questão da abolição.
(E) A postura crítica de membros do Exército à monarquia e à escravidão, tendo em vista, entre outros fatos, a superação de preconceitos contra os negros por meio da convivência com soldados alforriados na Guerra do Paraguai. - Essa opção cobre tanto a agitação militar quanto a questão abolicionista. A Guerra do Paraguai (1864-1870) levou muitos membros do Exército a se tornarem críticos da monarquia e da escravidão, gerando um descontentamento crescente durante a década de 1880.
Portanto, a alternativa que melhor responde à questão é:
(E) a postura crítica de membros do Exército à monarquia e à escravidão, tendo em vista, entre outros fatos, a superação de preconceitos contra os negros por meio da convivência com soldados alforriados na Guerra do Paraguai.
A respeito dos dois grandes problemas mencionados no texto, cabe destacar (ou seja a questão pede que, baseado na questão militar e na abolição escolha a alternativa que mais esteja correta)
(A) a publicação do Manifesto Republicano por dissidentes do Partido Conservador, criticando o fato de o Brasil ser a única monarquia da América. Alternativa errada. Pois eram dissidentes do Partido Liberal, não do Partido Conservador, tendo apenas uma leve influência para o fim da monarquia
(B) o movimento tenentista, que dava ênfase à ampliação do sistema de educação do país e propunha o estabe- lecimento de uma república positivista, controlada pelos militares. Alternativa errada. Pois esse movimento só viria a acontecer no Brasil República, mais especificamente no que chamam de República Velha/Oligárquica.
(C) o estímulo à formação de famílias escravas, após a aprovação da Lei Eusébio de Queirós, a fim de aumentar a oferta de mão de obra nas fazendas de café do Sudeste brasileiro.
D) o descontentamento dos militares, que se opunham ao sistema político oligárquico, sustentado, entre outros meios, pelo voto de cabresto e pelas fraudes eleitorais. Alternativa errada. Pois havia o descontentamento dos militares, mas este era por conta dos baixos salários, o voto de cabresto e fraudes eleitorais somente serão pautas da República Velha/Oligárquica.
(E) a postura crítica de membros do Exército à monarquia e à escravidão, tendo em vista, entre outros fatos, a superação de preconceitos contra os negros por meio da convi- vência com soldados alforriados na Guerra do Paraguai. Alternativa correta. Pois o Exército criticou a monarquia por conta dos baixos salários, exigindo um aumento dos salário, melhoria da carreira também e muitos membros do Exército foram favoráveis ao abolicionismo.