Explique as características das séries financeiras e identif

Características das Séries Financeiras

As séries financeiras são sequências de pagamentos ou recebimentos em que o valor de cada período depende do valor do período anterior, sendo fundamental para o entendimento de juros compostos. As principais características das séries financeiras são:

1. Pagamentos iguais e periódicos: Em uma série financeira, os pagamentos são constantes em cada período.
2. Taxa de juros: Uma taxa de juros é aplicada a cada período, com a condição de que os juros sejam compostos (juros sobre juros).
3. Duração: A série pode ter uma duração definida, que é o número de períodos em que ocorrerão os pagamentos.

Com base nessas características, as séries financeiras podem ser classificadas em:

• Série postecipada: O pagamento ocorre no final de cada período. Isso significa que o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período.
• Série antecipada: O pagamento ocorre no início de cada período. Isso significa que o primeiro pagamento ocorre logo no início do primeiro período.

Identificando a Série: Postecipada ou Antecipada?

No problema proposto, Marlene vai realizar pagamentos mensais começando hoje (primeiro pagamento no início do período). Esse tipo de pagamento caracteriza uma série antecipada (ou também chamada de série de pagamentos no início). Portanto, a série em questão é antecipada.

Elementos Importantes a Serem Observados

Antes de resolver um problema de séries financeiras, é importante observar:

1. Taxa de juros por período: A taxa de juros fornecida é geralmente anual, mas como o problema pede o pagamento mensal, precisamos converter essa taxa para o período desejado (mensal).

2. Número de períodos: O número de meses no qual será feito o pagamento.

3. Tipo de série: Se é antecipada ou postecipada, como discutido anteriormente. Esse detalhe vai influenciar a fórmula a ser utilizada.

Resolução do Problema

O problema pede para calcular o valor das prestações mensais (que é o valor a ser aplicado mensalmente) para atingir R$ 20.000,00 após 36 meses, com uma taxa de juros de 20% ao ano.

Vamos resolver passo a passo.

1. Converter a taxa de juros anual para mensal:

A taxa de juros é 20% a.a. (ao ano). Para calcular a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12:

imensal=20%12=1,6667% ao meˆs=0,016667 (em termos decimais).i_{\text{mensal}} = \frac{20\%}{12} = 1,6667\% \text{ ao mês} = 0,016667 \text{ (em termos decimais)}.imensal?=1220%?=1,6667% ao meˆs=0,016667 (em termos decimais).

2. Aplicar a fórmula da série de pagamentos antecipados (também conhecida como annuity due):

A fórmula para calcular o valor das prestações em uma série de pagamentos antecipados é:

P=FV((1+i)n?1i)×(1+i)P = \frac{FV}{\left( \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i} \right) \times (1 + i)}P=(i(1+i)n?1?)×(1+i)FV?

Onde:

• $P$ é o valor do pagamento mensal,
• $FV=20.000$ é o valor futuro desejado,
• $i=0,016667$ é a taxa de juros mensal,
• $n=36$ é o número de meses.

Substituindo os valores:

P=20.000((1+0,016667)36?10,016667)×(1+0,016667)P = \frac{20.000}{\left( \frac{(1 + 0,016667)^{36} - 1}{0,016667} \right) \times (1 + 0,016667)}P=(0,016667(1+0,016667)36?1?)×(1+0,016667)20.000?

Primeiro, vamos calcular o termo dentro do parênteses:

(1+0,016667)36=(1,016667)36?1,8114(1 + 0,016667)^{36} = (1,016667)^{36} \approx 1,8114(1+0,016667)36=(1,016667)36?1,8114

Agora, calculemos o resto da expressão:

1,8114?10,016667=0,81140,016667?48,684\frac{1,8114 - 1}{0,016667} = \frac{0,8114}{0,016667} \approx 48,6840,0166671,8114?1?=0,0166670,8114??48,684

Agora, multiplicamos esse resultado por $(1+0,016667)=1,016667$:

$$48,684\times 1,016667?49,483$$

Finalmente, dividimos o valor futuro $FV$ por esse número:

P=20.00049,483?403,23P = \frac{20.000}{49,483} \approx 403,23P=49,48320.000??403,23

Resposta:

Portanto, para atingir R$ 20.000,00 após 36 meses, com uma taxa de juros de 20% ao ano, Marlene precisará aplicar R$ 403,23 mensalmente, começando hoje.