8. Dadas as equações a seguir, determine o valor do discrimi

Question

8. Dadas as equações a seguir, determine o valor do discriminante Δ: a) 3x²-10x+3=0 e) 7x - 3 = 2x² b) -x² + 10x = 25 f) x2 = 4 c) x² = -2x + 4 g) -x² + x = 0 d) x²-9x + 8 = 0 h) 3x² + 5 = x 9. Determine o conjunto solução das equações polino- miais do segundo grau. a) x27x + 10 = 0 f) 2x²-10x + 16 = 0 b) x²-8x + 12 = 0 g) 6x2 + x - 1 = 0 c) x²+2x-8=0 h) 4x² + 9 = 12x d) 4x²-20 = 0 i) (x-5)² = 1 e) -5x² + 4x = 0

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver as questões uma a uma.

Questão 8

Para cada equação, o discriminante $Δ$ é calculado usando a fórmula $Δ = b^{2} - 4 a c$ , onde a equação do segundo grau tem a forma $a x^{2} + b x + c = 0$ .

a) $3 x ² - 10 x + 3 = 0$

$a = 3$ , $b = - 10$ , $c = 3$
(\Delta = (-10)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 100 - 36 = 64)

e) $2 x ² - 7 x + 3 = 0$

$a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$
(\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25)

b) $- x ² + 10 x - 25 = 0$

$a = - 1$ , $b = 10$ , $c = - 25$
(\Delta = 10^2 - 4 \times (-1) \times (-25) = 100 - 100 = 0)

f) $x ² - 4 = 0$

$a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 4$
(\Delta = 0^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 16)

c) $x ² + 2 x - 4 = 0$

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 4$
(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 4 + 16 = 20)

g) $- x ² + x = 0$

$a = - 1$ , $b = 1$ , $c = 0$
(\Delta = 1^2 - 4 \times (-1) \times 0 = 1)

d) $x ² - 9 x + 8 = 0$

$a = 1$ , $b = - 9$ , $c = 8$
(\Delta = (-9)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 81 - 32 = 49)

h) $3 x ² - x + 5 = 0$

$a = 3$ , $b = - 1$ , $c = 5$
(\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times 5 = 1 - 60 = -59)

Questão 9

Agora, vamos determinar o conjunto solução para cada equação do segundo grau.

a) $2 x ² + 7 x + 10 = 0$

$Δ = 7^{2} - 4 \times 2 \times 10 = 49 - 80 = - 31$
Como $Δ < 0$ , não há solução real.

f) $2 x ² - 10 x + 16 = 0$

(\Delta = (-10)^2 - 4 \times 2 \times 16 = 100 - 128 = -28)
Como $Δ < 0$ , não há solução real.

b) $x ² - 8 x + 12 = 0$

$Δ = 8^{2} - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16$
$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$
$x_{1} = 6$ , $x_{2} = 2$
Solução: ${2, 6}$

g) $6 x ² + x - 1 = 0$

(\Delta = 1^2 - 4 \times 6 \times (-1) = 1 + 24 = 25)
$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{12}$
$x_{1} = \frac{2}{3}$ , $x_{2} = - \frac{1}{2}$
Solução: ${- \frac{1}{2}, \frac{2}{3}}$

c) $x ² + 2 x - 8 = 0$

(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36)
$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$
$x_{1} = 2$ , $x_{2} = - 4$
Solução: ${- 4, 2}$

h) $4 x ² - 12 x + 9 = 0$

(\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0)
$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Solução: ${\frac{3}{2}}$

d) $4 x ² - 20 = 0$

Reescrevendo: $4 x^{2} = 20$ , $x^{2} = 5$
$x = \pm \sqrt{5}$
Solução: ${- \sqrt{5}, \sqrt{5}}$

i) ((x - 5)² = 1)

$x - 5 = \pm 1$
$x_{1} = 6$ , $x_{2} = 4$
Solução: ${4, 6}$

e) $- 5 x ² + 4 x = 0$

Fatorando: (x(-5x + 4) = 0), então $x = 0$ ou $- 5 x + 4 = 0$
Soluções: $x = 0$ e $x = \frac{4}{5}$
Solução: ${0, \frac{4}{5}}$

Esses são os valores dos discriminantes e os conjuntos solução para cada uma das equações apresentadas.

Davi L. · Answer

Vamos calcular o discriminante (?) para cada equação do segundo grau e, em seguida, determinar o conjunto solução para essas equações.

Para determinar o discriminante, utilizamos a fórmula:

?=b2?4ac\Delta = b^2 - 4ac

Discriminante ?

a) 3x2?10x+3=03x^2 - 10x + 3 = 0

?=(?10)2?4?3?3\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3

?=100?36\Delta = 100 - 36

?=64\Delta = 64

e) 7x?3=2x27x - 3 = 2x^2

Reorganizando:

2x2?7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0

?=(?7)2?4?2?3\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3

?=49?24\Delta = 49 - 24

?=25\Delta = 25

b) ?x2+10x=25-x^2 + 10x = 25

Reorganizando:

?x2+10x?25=0-x^2 + 10x - 25 = 0

?=(10)2?4?(?1)?(?25)\Delta = (10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-25)

?=100?100\Delta = 100 - 100

?=0\Delta = 0

f) x2=4x^2 = 4

Reorganizando:

x2?4=0x^2 - 4 = 0

?=02?4?1?(?4)\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

?=0+16\Delta = 0 + 16

?=16\Delta = 16

c) x2=?2x+4x^2 = -2x + 4

Reorganizando:

x2+2x?4=0x^2 + 2x - 4 = 0

?=(2)2?4?1?(?4)\Delta = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

?=4+16\Delta = 4 + 16

?=20\Delta = 20

g) ?x2+x=0-x^2 + x = 0

Reorganizando:

?x2+x=0-x^2 + x = 0

?=(1)2?4?(?1)?0\Delta = (1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0

?=1\Delta = 1

d) x2?9x+8=0x^2 - 9x + 8 = 0

?=(?9)2?4?1?8\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8

?=81?32\Delta = 81 - 32

?=49\Delta = 49

h) 3x2+5=x3x^2 + 5 = x

Reorganizando:

3x2?x+5=03x^2 - x + 5 = 0

?=(?1)2?4?3?5\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5

?=1?60\Delta = 1 - 60

?=?59\Delta = -59

Conjunto Solução

Agora, vamos resolver algumas dessas equações:

a) x2?7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0

?=(?7)2?4?1?10=49?40=9\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9

x=?b±?2ax = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

x=7±32x = \frac{7 \pm 3}{2}

x=5?ou?x=2x = 5 \, \text{ou} \, x = 2

f) 2x2?10x+16=02x^2 - 10x + 16 = 0

?=(?10)2?4?2?16=100?128=?28\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 100 - 128 = -28

Não há solução real, pois o discriminante é negativo.

b) x2?8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0

?=(?8)2?4?1?12=64?48=16\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16

x=8±42x = \frac{8 \pm 4}{2}

x=6?ou?x=2x = 6 \, \text{ou} \, x = 2

g) 6x2+x?1=06x^2 + x - 1 = 0

?=(1)2?4?6?(?1)=1+24=25\Delta = (1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25

x=?1±512x = \frac{-1 \pm 5}{12}

x=412=13?ou?x=?612=?12x = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, \text{ou} \, x = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}

E assim por diante! Esses são os discriminantes e soluções para algumas das equações quadráticas dadas. Se precisar de mais detalhes ou ajuda com outros cálculos, estou por aqui!

8. Dadas as equações a seguir, determine o valor do discrimi

Questão 8

Questão 9

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Discriminante ?

a) 3x2?10x+3=03x^2 - 10x + 3 = 0

e) 7x?3=2x27x - 3 = 2x^2

b) ?x2+10x=25-x^2 + 10x = 25

f) x2=4x^2 = 4

c) x2=?2x+4x^2 = -2x + 4

g) ?x2+x=0-x^2 + x = 0

d) x2?9x+8=0x^2 - 9x + 8 = 0

h) 3x2+5=x3x^2 + 5 = x

Conjunto Solução

a) x2?7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0

f) 2x2?10x+16=02x^2 - 10x + 16 = 0

b) x2?8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0

g) 6x2+x?1=06x^2 + x - 1 = 0

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