Bom dia Caio.
Obrigado pela escolha na outra questão que respondi.
Nestas questões é mais fácil compreender quando temos o desenho da situação, então deixarei a figura a seguir:
A curva preta é y = x³+2x²-4x+5
A curva vermelha é 2y + 8 x = 5
Observação: Não precisa do desenho para resolver, mas este ajuda na percepção do que se pede.
Agora resolvendo efetivamente o problema temos que se pede os pontos, caso seja mais de um, em que a reta tangente é paralela a reta 2y + 8x = 5.
Resolução:
Para que uma reta seja paralela a outra basta que o coeficiente angular destas retas sejam iguais.
O coeficiente angular é o número que acompanha o x quando "isolamos" o y, ou seja
2y + 8x = 5
2y = 5 - 8x
y = (5 - 8 x)/2
y = 5/2 - 4x
Temos assim, que o coeficiente angular da reta é -4.
No entanto, coeficiente angular de uma função nada mais é que a derivada desta (taxa de variação, se preferir), portanto precisamos derivar a função y = x³ + 2x² - 4x + 5 e igualar a 4. Pois bem, façamos isto
y = x³ + 2x² - 4x + 5
y ' = 3x² + 4x - 4 = - 4
3x² + 4x - 4 + 4 = 0
3x² + 4x = 0
Resolvendo a equação do 2º grau acima teremos os valores de x onde a derivada é igual a - 4.
Colocando o x em evidência, temos
x.(3x + 4) = 0
x = 0
ou
3x + 4 = 0
3x = - 4
x = - 4/3
Portanto, temos que a derivada é -4 em x = 0 e em x = - 4/3.
Basta calcular o valor da função y = x³ + 2x² - 4x + 5, nestes pontos, ou seja,
y(0) = 0³ + 2.0² - 4.0 + 5 = 5
y(- 4/3) = (- 4/3)³ + 2.(- 4/3)² - 4.(- 4/3) + 5
y(- 4/3) = - 64/27 + 2.(16/9) + 16/3 + 5
Tirando o MMC (27, 9, 3) = 27 e "dividindo pelo DEBAIXO e multiplicando pelo DE CIMA" em todas as frações temos
y(- 4/3) = (- 64 + 96 + 144 + 135)/27
y(- 4/3) = 311/27
Portanto, os pontos são
A = (0 , 5) e B = (- 4/3, 311/27)
Espero ter ajudado, bons estudos.
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