Ainda não consegui resolver essa. Será que não tem como resolver sem derivada?
Um paralelepípedo retângulo de base quadrada está inscrito em um cone circular reto de modo que os vértices de uma de suas bases pertencem à superfície lateral do cone e a outra base está contida na base do cone. A altura do cone é raiz(2)*2 cm e o raio de sua base é 1 cm. O maior valor possível para a área da superfície total do paralelepípedo, em cm², é:
R:16/3
Olá novamente Juliana.
Quando eu respondi esta pergunta eu usei derivadas por ser o procedimento geral para este tipo de problema e por você ser aluna de bacharelado em física.
A profª Aruana Campos completou muito bem a minha resposta para o caso particular da equação de 2º grau y(x) = ax^2 + b x + c.
O ponto extremo (máximo ou mínimo) está sempre no vértice e este tem coordenadas x_v = -b/2a ; y_v = - Delta/4a.
Retomando a expressão que encontramos para a área superficial total do paralelepípedo:
AT(L) = -6L^2 + 8*raiz(2)*L == ax^2 + bx + c
com c=0
x_v = -b/2a = 8*raiz(2) / ( 2 * 6) = 2*raiz(2) / 3 == L_otimo
y_v = - Delta/4a. = - (b^2 - 4*a*c) / (4a) = - b^2 / ( 4 a) = - 64 * 2 / (4 * (-6)) = ... = 16/3
Veja que o procedimento de otimização para y(x) = ax^2 + b x + c resulta exatamente nas expressões para x_v e y_v.
A resultado para a segunda derivada recai na condição de mínimo com a concavidade para cima e máxima com a concavidade para baixo, assim como a=-6 tem-se conc. para baixo e portanto um ponto de máximo local que também é global para esta função.
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