1) Qual deve ser o valor de m para que os polinômios P(x) = - 9x + 3x^3 e Q(x) = (2m - 1)x + 3x^3 sejam idênticos?
2) Resolva a seguinte expressão (i^2 + i^23 + i^2020) . ( -i^50 + i^52 - i^53)=
1) Para que dois polinômios sejam idênticos, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais. Olhando para o problema vemos que os coeficientes de x^3 já são iguais. Resta então igualar os coeficientes de x. Comparando os dois polinômios:
2m-1 = -9 -> 2m = -8 -> m = -4
2) Nesta questão, observe o que ocorre com as potências de i:
i^0 = 1; i^1 = i i^2 = -1 i^3 = -i i^4 = 1 ....
veja que a partir de i^4 o resultado das potências começa a se repetir. Logo, para determinar potências maiores de i basta encontrar o resto da divisão por 4 e calcular a respectiva potência. No exercício dado por exemplo:
i^23 => 23 ÷ 4 tem resto 3. Logo i^23 = i^3 = -i.
i^2020 => 2020 ÷ 4 tem resto 0. Logo i^2020 = i^0 = 1
i^50 => 50 ÷ 4 tem resto 2. Logo i^50 = i^2 = -1
i^52 => 52 ÷ 4 tem resto 0. Logo i^52 = i^0 = 1
i^53 => 53 ÷ 4 tem resto 1. Logo i^53 = i^1 = i.
Assim:
(i^2 + i^23 + i^2020) . ( -i^50 + i^52 - i^53) = (-1 - i + 1).( -(-1) + 1 -i) = ( - i ).( 2 - i) = -2i -1
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