Algebra linear, traço da matriz

A³ - 2A² + 3A + I = 0 (multiplica por A^(-1) à direita)

A³.A^(-1) - 2A².A^(-1) + 3A.A^(-1) + I.A^(-1) = 0.A^(-1)

A² - 2A + 3I + A^(-1) = 0

tr(A² - 2A + 3I + A^(-1)) = tr(0)

tr(A²) - tr(2A) + tr(3I) + tr(A^(-1)) = tr(0)

tr(A²) - 2.tr(A) + 3tr(I) + tr(A^(-1)) = tr(0)

tr(A²) - 2.2 + 3n - 3 = 0

tr(A²) = 7 - 3n

Agora voltando na equação:

A³ - 2A² + 3A + I = 0

tr(A³ - 2A² + 3A + I) = tr(0)

tr(A³) - tr(2A²) + tr(3A) + tr(I) = tr(0)

tr(A³) - 2.tr(A²) + 3.tr(A) + tr(I) = tr(0)

tr(A³) - 2.(7 - 3n) + 3.2 + n = 0

tr(A³) - 14 + 6n + 6 + n = 0

tr(A³) = 8 - 7n

onde n é a dimensão da matriz