Algebra linear - transformação linear

1. Considere a transformação linear T1: R5 -> R3,  definida por T1 ( x, y, z, t, p) = ( x,  y + z,  z + t +p ). Encontre uma
base e uma dimensão para o núcleo de T1. 

Solução.

Note que o núcleo de T1 é formado pelos vetores da forma (x,y,z,t,p) tal que

T1(x, y, z, t, p) = (x, y + z, z + t +p) = (0, 0, 0)

Logo

x = 0;  y= -z; t = -z -p

Nucleo T1 = {(x,y,z,t,p) | x=0, y = -z, t = - z - p } = { (0, -z, z, -z -p, p) | z, p reais }

Nucleo T1 = { z(0, -1, 1, -1, 0) + p(0, 0, 0, -1, 1) | z, p reais }

Claramente os vetores  u = (0, -1, 1, -1, 0) e v = (0, 0, 0, -1, 1) geram o núcleo de T1 e são L.I., portanto

• Uma base para o núcleo de T1 é B = {u, v} = { (0, -1, 1, -1, 0); (0, 0, 0, -1, 1) }
• A dimensão para o núcleo de T1 é 2.

2. O operador linear T: R3 -> R3, definido por T(x, y,z ) = (x, x + y, x + y + z ) é sobrejetor ?

Solução.

Calculamos o núcleo de T:

T(x, y,z ) = (x, x + y, x + y + z ) = (0, 0, 0)

Logo

x = 0; y = -x = 0; z = -x -y = -0 -0 = 0

Portanto, T é injetora e pelo Teorema do núcleo e da dimensão de T, temos que T é sobrejetora.

Outra forma de mostrar que T é sobrejetora é notar que

T(1, -1, 0) = (1, 0, 0)

T(0, 1, -1) = (0, 1, 0)

T(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

Logo, para qualquer vetor (a,b,c) em R³ temos:

(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)

(a, b, c) = a T(1, -1, 0) + b T(0, 1, -1) + c T(0, 0, 1)

(a, b, c) = T(a, -a, 0) + T(0, b, -b) + T(0, 0, c)

(a, b, c) = T(a, b-a, c-b)

 Isto é, existe um vetor (x, y, z) = (a, b-a, c-b) tal que T(x,y,z) = (a, b, c), portanto T é sobrejetora.

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