Álgebra ll

Para um anel A comutativo e com unidade, as seguintes propriedades são satisfeitas: Adição: Os seguintes axiomas devem ser satisfeitos para a operação de adição: i) Comutatividade: para quaisquer elementos a e b em A, a + b = b + a. ii) Associatividade: para quaisquer elementos a, b e c em A, (a + b) + c = a + (b + c). iii) Existência de elemento neutro: existe um elemento 0 em A tal que, para todo elemento a em A, a + 0 = a. iv) Existência de elemento oposto: para cada elemento a em A, existe um elemento -a em A tal que a + (-a) = 0. Multiplicação: Os seguintes axiomas devem ser satisfeitos para a operação de multiplicação: i) Comutatividade: para quaisquer elementos a e b em A, a * b = b * a. ii) Associatividade: para quaisquer elementos a, b e c em A, (a * b) * c = a * (b * c). iii) Existência de elemento neutro: existe um elemento 1 em A tal que, para todo elemento a em A, a * 1 = a. iv) Distributividade: para quaisquer elementos a, b e c em A, a * (b + c) = (a * b) + (a * c) e (b + c) * a = (b * a) + (c * a). Além desses axiomas, também pode ser definido um axioma adicional de cancelamento: v) Cancelamento: para quaisquer elementos a, b e c em A, se a * b = a * c e a é diferente de 0, então b = c, e se b * a = c * a e a é diferente de 0, então b = c. Esses axiomas são a base para a definição de um anel comutativo com unidade e são essenciais para o estudo da Álgebra Abstrata.