Sejam K um corpo ordenado e a,bpertenceK. Sabendo que a.b>0, sempre que a>0 e b>0, mostre que:
a) a.b<0, sempre que a>0 e b<0.
b) a.b>0, sempre que a<0 e b<0.
c) a^2>0, para todo adiferente0.
d) 1>0.
e) a^(-1)>0, sempre que a>0.
f) a^(-1)b>0.
a) Como b < 0, temos b+(-b) < -b pela compatibilidade da ordem com adição, donde 0 < -b. Assim, -a.b = a.(-b) > 0. Somando a.b em -a.b > 0, obtemos 0 > a.b.
b) Do argumento acima, temos -a > 0 e -b > 0, logo a.b = (-a).(-b) > 0.
c) Se a > 0, então a^2 = a.a > 0 pela propriedade relembrada no enunciado. Do contrário, pela tricotomia temos a < 0, donde aplicando-se o item anterior (com b=a) obtemos novamente a^2 = a.a > 0.
d) Segue do item anterior com a=1, já que 1^2 = 1.
e) Temos a.a^{-1} = 1 > 0 pelo item anterior. Se tivéssemos a^{-1} < 0, teríamos a.a^{-1} < 0 pelo item b), contradição. Logo, a^{-1} > 0 pela tricotomia.
f) Aqui imagino que é dado a > 0 e b > 0. Basta aplicar o item anterior e a propriedade relembrada no enunciado. Também vale no caso em que a < 0 e b < 0, pois procedendo como no item anterior obtemos a^{-1} < 0 e aí segue aplicando-se b).
Aulas particulares
