Sendo x,a pertence R, a>0, mostre que:
a) |x|
b) |x|>a <-> x<-a ou x>a.
Vou supor que "R" é um corpo ordenado e que no item a) deseja-se provar |x| >= 0.
a) Se x = 0, temos |x| = 0 e portante vale |x| >= 0. Suponha x não nulo. Se x > 0, temos |x| = x por definição, donde |x| > 0. Do contrário, pela tricotomia temos x < 0, daí |x| = -x por definição e |x| = (-1).x > 0 (pois -1 < 0 e x < 0).
b) Se x = 0, temos 0 > a, ou seja, x > a. Suponha x não nulo. Se x > 0, então x = |x| > a. Do contrário, temos x < 0 pela tricotomia e assim -x = |x| > a, que implica x < -a (somando-se x e -a sucessivamente na desigualdade).
Provamos então a implicação direta. Provemos agora a recíproca. Se x > a, então x > 0 (pela transitividade e a > 0), donde |x| = x > a. Do contrário, temos x < -a, donde x < 0 (transitividade e -a < 0) e portanto |x| = -x > a (pois x < -a implica -x > a). Isto conclui a prova.
Edit.: Entendo a mensagem. Não devemos tentar entregar de mão beijada respostas completas e detalhadas a estudantes que claramente não estão se esforçando para aprender e expor dúvidas legítimas, concordo. Me escapou a reflexão quando redigi a resposta. Obrigado pelo feedback.
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