Prove por indução que a soma dos cubos dos inteiros positivos consecutivos de 1 até n é igual ao quadrado da soma dos inteiros positivos consecutivos de 1 a n.
Prove por indução que a soma dos cubos dos inteiros positivos consecutivos de 1 até n é igual ao quadrado da soma dos inteiros positivos consecutivos de 1 a n.
Solução.
Considere A = {n em N | 13 + 23 + ... + n3 = n2(n+1)2/4 }
De fato: 13 = 1 = 4/4 = 12(1+1)2/4; então 1 está em A
13 + 23 + ... + h3 = h2(h+1)2/4
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13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = h2(h+1)2/4 + h3 = (h4 + 2h3 + h2)/4 + (h+1)3
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h4 + 2h3 + h2 + 4(h+1)3)/4
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h4 + 2h3 + h2 + 4h3 + 12h2 + 12h + 4)/4
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h4 + 6h3 + 13h2 + 12h + 4)/4
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h2 + 2h + 1)(h2 + 4h + 4)/4
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h+1)2 (h+2)2/4
13 + 23 + ... + h3+ (h+1)3 = (h+1)2 ((h+1)+1)2/4
Segue-se que (h+1) está em A, e portanto A é valida para todo n em N, isto é:
13 + 23 + ... + n3 = n2(n+1)2/4, para todo n em N
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