1)Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo t são: x = 3t + 12 e y = –6t + 10 .A equação geral dessa trajetória é:
2)Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t ? R. A equação reduzida da reta é igual a:
3)Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t ? R. O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a:
4)Um ponto P move-se num plano onde foi fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A abscissa x e a ordenada y de P são dadas, em função do tempo t, por x = 2t e y = t + 1. Represente no plano o conjunto das posições(equação geral da reta) pelas quais passa o ponto P.
1) x = 3t + 12 --> (x-12)/3 =t
y = –6t + 10 substituindo t --> y = -6((x-12)/3) +10
y =-2x +12+10 --> y = -2 +22
A equação geral dessa trajetória é: -2x -y +22=0
2) x = 2t + 1
y = t – 1 --> t = y+1 substituindo
x= 2(y+1) +1 --> x =2y+3 --> (x-3)/2 =y
A equação reduzida da reta é igual a: x/2 -3/2 = y
3) x = 2t + 1
y = t – 1
y = mx +n , m é o coeficiente angular
x/2 -3/2 = y --> m = 1/2
O coeficiente angular (ou declividade) dessa reta é igual a: m = 1/2
4)Um ponto P move-se num plano onde foi fixado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A abscissa x e a ordenada y de P são dadas, em função do tempo t, por x = 2t e y = t + 1. Represente no plano o conjunto das posições(equação geral da reta) pelas quais passa o ponto P.
x=2t --> t= x/2
y=t+1 --> y = x/2 + 1
Equação geral da reta : x/2 -y +1 = 0
1. Primeiro ponto é entender o que a questão está pedindo. Como sabemos, o móvel descreve uma trajetória retilinia correto? E assim como toda reta, essa trajetória pode ser representada por uma equação que a descreveria no plano cartesiano. Contudo, vemos que o objeto se move tanto no sentido horizontal (x), quanto no sentido vertical (y), representados respectivamente pelas equações x = 3t + 12 e y = –6t + 10:
Portanto basta encontrarmos dois pontos em que o objeto esteve presente no mesmo instante de tempo t, sendo assim as funções horarias x(t) e y(t) nós darão esses pontos:
Escolhemos instantes t a nossa disposição:
t = 1 unid. e t = 2 unid.
Sendo assim a reta pertenceria aos pontos x(1),y(1) e x(2),y(2):
x(1) = 3*(1) + 12 = 15 e y(1) = -6*(1) + 10 = 4
x(2) = 3*(2) + 12 = 18 e y(2) = -6*(2) + 10 = -2 Logo, sabemos que os pontos (15,4) e (18,-2) pertencem a reta, agora basta acharmos sua equação a partir dos pontos:
Como sabemos a equação geral de um reta é descrita por ax +b = y :
Sendo assim podemos montar duas equações, uma vez que conhecemos coordenas (x,y) pertencentes a reta:
eq1: a*(15) + b = 4 --> b= 4 - 15*a
eq2: a*(18) + b = -2 --> 18*a + ( 4 -15*a) = -2 --> 18*a + 4 - 15*a = -2 --> 3*a = -6 --> a = -6/3 = -2
a = -2
b = 4 - 15* (-2) --> b = 4 + 30 --> b = 34
Portanto a equação da reta é igual á -2*x + 34 = y
2. Sabemos que uma reta possui as seguintes equações paramétricas: x = 2t + 1 e y = t -1, se quisermos encontrar a sua equação no plano cartesiano ou sua equação reduzida, devemos primeiros encontrar dois pontos pertencentes a reta:
De maneira semelhante a primeira questão, vamos supor dois valores hipotéticos para t, tal que, tenhamos pontos (x,y) naquele mesmo instante de tempo t:
Supomos: t = 1 unid. e t = 2 unid.
Sendo assim os pontos serão x(t1),y(t1) e x(t2),y(t2):
x(1) = 2*(1) +1 = 3 e y(1) = (1) - 1 = 0 --> 1° Ponto (3,0)
x(2) = 2*(2) +1 = 5 e y(2) = (2) - 1 = 1 --> 2° Ponto (5,1)
Logo temos então dois pontos pertencentes a reta, agora basta criarmos duas equações substituindo os valores de (x,y) na equação geral da reta:
a*x + b = y
eq1: a*(3) + b = 0 --> b= - 3*a
eq2: a*(5) + b = 1 --> 5*a + (-3*a) = 1 --> 5*a - 3*a = 1 --> 2*a = 1 --> a =1/2 ou 0,5
a = 1/2
b= - 3* (1/2) --> b = -3/2
Portanto a equação reduzida da reta é igual á 1/2*x + 3/2 = y
3. Como sabemos, o coeficiente angular de uma reta pode ser dado por : m = (y2-y1)/(x2-x1), ou seja, uma vez que sabemos dois pontos distintos que pertencem a mesma reta, sabemos sua inclinação ou coeficiente angular.
Desta maneira perceba que as equações paramétricas dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1 são as mesma do 2° exercicio, desta forma podemos utilizar os mesmo pontos que encontramos na questão n° 2:
1° Ponto (3,0) e 2° Ponto (5,1) --> x1 = 3 : x2 = 5 : y1 = 0 : y2 = 1.
m= (1 - 0)/(5 - 3) --> m = 1/2
Perceba então que m é igual ao a da equação geral da reta.
4. De maneira geral, a questão ainda pede a equação geral da reta no plano cartesiano ortogonal, ou seja, o plano cartesiano comumente conhecido. Sabemos que o objeto realiza seu movimento em linha reta e se move tanto na horizontal (x), quanto na vertical (y) dadas, em função do tempo t, por x = 2t e y = t + 1.
De maneira semelhante a primeira questão, vamos supor dois valores hipotéticos para t, tal que, tenhamos pontos (x,y) naquele mesmo instante de tempo t:
Supomos: t = 1 unid. e t = 2 unid.
Sendo assim os pontos serão x(t1),y(t1) e x(t2),y(t2):
x(t) = 2*(t) = e y(t) = (t) + 1 =
x(1) = 2*(1) = 2 e y(1) = (1) + 1 = 2 --> 1° Ponto (2,2)
x(2) = 2*(2) = 4 e y(2) = (2) + 1 = 3 --> 2° Ponto (4,3)
Logo temos então dois pontos pertencentes a reta, agora basta criarmos duas equações substituindo os valores de (x,y) na equação geral da reta:
a*x + b = y
eq1: a*(2) + b = 2 --> b= 2 - 2*a
eq2: a*(4) + b = 3 --> 4*a + (2 - 2*a) = 3 --> 4*a +2 - 2*a = 3 --> 2*a = 3 - 2 --> a =1/2
a = 1/2
b= 2 - 2*(1/2) --> b = 2 - 1 --> b = 1
Portanto a equação reduzida da reta é igual á 1/2*x + 1 = y.
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