Alguém pode me ajudar nessa questão:
Qual a probabilidade de que um anagrama aleatório da palavra MATEMATICOS (sem acento) contenha duas letras iguais consecutivas?
Resposta: .
Solução:
Para resolver esse exercício vamos usar a lógica do diagrama de Venn, onde teremos o conjunto A: anagramas de MATEMATICOS nos quais as letras A estão juntas, M: anagramas de MATEMATICOS nos quais as letras M estão juntas e T: anagramas de MATEMATICOS nos quais as letras T estão juntas.
, sendo que |A|, por exemplo, indica a quantidade de elementos do conjunto A.
Consideremos que nos anagramas de MATEMATICOS nos quais as letras A estão juntas teremos um bloco das letras A's. Então teremos 10 objetos para permutar, sendo que existem duas letras que possuem outra letra repetida (2 letras M e 2 letras T). Assim, a quantidade de anagramas com os A's juntos será .
Analogamente, a quantidade de anagramas em que as letras M estão juntas é , e a quantidade em que os T's estão juntos também é
.
Entretanto, precisamos retirar alguns casos em que existem A's e M's juntos no mesmo anagrama, por exemplo.
Quantidade de anagramas com A's e M's juntos: agora teremos dois blocos de letras e mais 7 letras, ou seja, permutaremos 9 objetos, sendo que existem dois repetidos (as duas letras T), então .
Analogamente, a quantidade de anagramas com A's juntos e T's juntos é e a quantidade de anagramas com M's juntos e T's juntos também é
.
Agora, vamos adicionar a quantidade de casos em que no mesmo anagrama as letras A estão juntas, as letras M estão juntas e as letras T estão juntas.
Considerando cada par de letras como um bloco, temos 3 blocos e 5 letras sobrando, um total de 8 objetos para permutar, então temos .
Assim, a quantidade de anagramas em que pelo menos uma das letras está seguida pelo seu par é:
O total de anagramas é dado por: .
Então a probabilidade de que um anagrama aleatório contenha duas letras consecutivas é:
Colocando 8! em evidencia no numerador temos
.
