Analisar comportamento de função

Boa tarde, Diego

Para criar esboço de função precisamos conhecer algumas características dessa função, podemos notar que as alternativas da sua questão são características de gráficos.
Através desses conceitos podemos determinar intervalos crescentes e decrescentes, máximos e mínimos locais.

I - Ainda que seja um esboco, o comportamento de crescimento/decrescimento da funcão deve ser respeitado no seu desenho. Assim, precisamos saber os intervalos de crescimento e decrescimento
da função. No caso de funções diferenciáveis, lembre-se de que se f é crescente num intervalo I (resp. decrescente) então f' é positiva (resp. negativa) neste intervalo.

II - Quando f passa de um comportamento “crescente" para um comportamento “decrescente", ocorre um máximo local. Devemos encontrar e classicar os pontos de maximo/mnimo locais, ou seja, devemos calcular todos os pontos onde f'(x) = 0 e realizar o teste da derivada segunda neste ponto. Se f'(a) = 0 e f''(a) > 0, então a e um mínimo local; se f'(a) = 0 e f'(a) < 0 então a é um maximo local.

Mesmo sabendo que a função é crescente num intervalo, existem duas formas dela fazer isto: ela pode ser côncava para cima (f'' > 0) ou côncava para baixo (f'' < 0). Os pontos de mudança de
concavidade são chamados ponto de inflexão.

Aplicando essas teorias nessa função apresentadas temos que:

f(x)= (x^3)-3x+1

f '(x)= (3x^2) -3

f ''(x)= 6x

f '(x) = 0, resolvendo, x=-1 e x=1, substituindo na derivada segunda, f ''(-1)= -6 (negativo, máximo local, f ''(1)= 6 (positivo, mínimo local)

Aqui já obtemos a resposta do exercício. Máximo local quando x = -1.

Através dessa teoria é possível resolver e ver porque as outras alternativas estão incorretas.

Espero ter ajudado, Matheus Manelcci

Boa tarde Diego, beleza? Vamos lá.. a derivada da função fica: f '(x) = 3.x² - 3 a) Lembre que a derivada primeira indica a inclinação da função. Se a função for decrescente, sua derivada (inclinação) deve ser negativa (menor do que zero). f '(x) < 0 3.x² - 3 < 0 x² < 1 aplicando a raiz dos dois lados: | x | < 1 ou seja x < 1 ou x > -1 Em outras palavras, a função é decrescente apenas no intervalo entre -1 e 1. b) máximo local é um ponto de inflexão onde a derivada é zero (indicando mudança de inclinação) e a derivada segunda é menor que zero, indicando que a derivada primeira é decrescente, ou seja, que a inclinação da curva "apontava pra cima" (derivada primeira positiva) e vai diminuindo esse angulo (derivada), passando por zero (ponto de máximo local da função) e ficando negativo. f '(x) = 0 3.x² - 3 = 0 x = +-1 f ''(x) = 6x f ''(-1) = -6 Ou seja, é um ponto de máximo local! c) f '(0) = -3 Não é máximo nem mínimo local, mas sim um ponto de inflexão (quando a curva muda sua inclinação), ou em outras palavras, tem derivada segunda igual à 0. d) Letra "b)" já respondeu que -1 é abscissa de ponto de máximo local. e) Letra "a)" já respondeu que a função é descrente neste intervalo.