Seja |f|(x)=|f(x)|, mostre que se f é contínua, então |f| será contínua. A recíproca é verdadeira? Se sim, pq?
Seja |f|(x)=|f(x)|, mostre que se f é contínua, então |f| será contínua. A recíproca é verdadeira? Se sim, pq?
Solução.
Seja x0 \in Dom(f) qualquer.
Dado epsilon>0, já que f é contínua em x0, existe delta>0 tal que se |x-x0|<delta então |f(x) - f(x0)|<epsilon
Logo
| |f(x)| - |f(x0)| | <= |f(x) - f(x0)| < epsilon
Portanto, |f| é contínua em x0, dado que x0 é arbitrário, segue-se que |f| é continua no subconjunto do dominio de f onde também f é continua.
Por outro lado, a recíproca não é verdaadeira, mais específicamente, se |f| é continua em x0, não necesariamente f é contínua em x0.
Exemplo:
Considere a função f(x) = -1, se x<0; e f(x) = 1, se x>=0.
Claramente, |f|(x) = 1, para todo x real, logo é uma função constante e portanto é contínua. Por outro lado, f não é contínua em x=0, já que f(0)=1 e os límites laterais são diferentes:
f(0+)=1
f(0-)=-1
Logo, não existe limite quando x tende a 0, portanto f têm uma discontinuidade em x=0.
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