Análise combinatória 3*

a) Para um número ser múltiplo de 5, o último algarismo deve ser 0 ou 5. Se começar com um número par, o último algarismo só pode ser 0. Portanto, o número terá a forma XY0, onde X é um número par e Y é qualquer número de 0 a 9. Como o primeiro algarismo é par, temos 5 opções para X (2, 4, 6, 8, 0) e 10 opções para Y (0 a 9). Portanto, o número total de números inteiros positivos de até três algarismos, começando com um número par e que são múltiplos de 5, é 5 * 10 = 50. b) Para ter três algarismos distintos, o número não pode ter algarismos repetidos. Se a soma dos algarismos é ímpar e o número é múltiplo de 5, então o último algarismo deve ser 5. Para que a soma seja ímpar, os outros dois algarismos devem ser pares, já que a soma de um número ímpar com dois números pares sempre resulta em um número ímpar. Portanto, temos a forma X5Y, onde X e Y são pares e distintos. Para X, temos 4 opções (2, 4, 6, 8) e para Y, temos 3 opções (os pares restantes). Assim, o número total de números inteiros positivos de três algarismos distintos, múltiplos de 5 e com a soma de seus algarismos igual a um número ímpar, é 4 * 3 = 12.

Bom dia Giann Luka. Vamos lá:

a) Quantos números inteiros positivos de até três algarismos começando com um número par são múltiplos de 5?

Primeiro, vamos considerar os números de dois algarismos. Para serem múltiplos de 5, eles devem terminar em 0 ou 5. Como estamos começando com um número par, temos as seguintes opções para a casa das dezenas: 2, 4, 6 e 8. E para a casa das unidades, temos 0 e 5. Portanto, temos:

- Números de 2 algarismos = 4 números pares * 2 (0 ou 5) = 8 possibilidades.

Agora, vamos considerar os números de três algarismos. Novamente, começamos com um número par, então temos as mesmas opções para a casa das centenas (2, 4, 6 e 8). A casa das unidades ainda pode ser 0 ou 5, e a casa das dezenas pode ser qualquer algarismo. Portanto, temos:

- Números de 3 algarismos = 4 números pares * 10 números (0 a 9) * 2 (0 ou 5) = 80 possibilidades.

Logo, teremos 80 + 8 = 88 possibilidades de números inteiros positivos e que começam com um número para e são multiplos de 5.

b) Quantos números inteiros positivos com três algarismos distintos são múltiplos de 5 e têm a soma de seus algarismos igual a um núme?ro ímpar?

múltiplos de 5 , final 0 ou 5

par ={0,2,4,6,8}

ímpar ={1,3,5,7,9}

final 5 , 1ª centena não pode ser o zero

par+par  ==>4*4*1 =16; não serve porque para que a soma seja um número ímpar, todos os números terão que ser ímpares.

ímpar+ímpar ==>4(não pode ser 5)*3(ímpar sem repetição e não ser 5)*1(tem que ser 5)=12 possibilidades.

Sucesso!!!!!!!!!!

Vamos resolver cada parte do problema separadamente:

a) Quantos números inteiros positivos de até três algarismos começando com um número par são múltiplos de 5?

Para um número ser múltiplo de 5, seu último algarismo deve ser 0 ou 5. Como queremos números de três algarismos que começam com um número par, o algarismo das dezenas pode variar de 0 a 9, exceto 5 (porque queremos começar com um número par). O algarismo das unidades pode ser 0 ou 5 para que o número seja múltiplo de 5.

Então, temos duas possibilidades para o algarismo das unidades (0 ou 5) e 5 possibilidades para o algarismo das dezenas (0, 2, 4, 6, ou 8). Portanto, o número total de números de três algarismos que começam com um número par e são múltiplos de 5 é 2 * 5 = 10.

b) Quantos números inteiros positivos com três algarismos distintos são múltiplos de 5 e têm a soma de seus algarismos igual a um número ímpar?

Para um número ser múltiplo de 5, seu último algarismo deve ser 0 ou 5. Além disso, como queremos a soma dos algarismos igual a um número ímpar, os algarismos não podem ser todos pares ou todos ímpares.

Vamos considerar as possibilidades:

1. Se o último algarismo for 5, os outros dois algarismos podem ser selecionados de maneira que a soma seja par.
2. Se o último algarismo for 0, os outros dois algarismos devem ser ímpares para que a soma seja ímpar.

Considerando esses pontos, podemos proceder com os cálculos.

Primeiro, vamos contar quantos números múltiplos de 5 têm três algarismos distintos com o último algarismo sendo 5. O primeiro algarismo pode ser selecionado de 1 a 9 (não pode ser zero), o segundo algarismo pode ser selecionado de 0 a 9, excluindo o primeiro algarismo e 5, e o último algarismo é fixo como 5.

Então, temos \( 9 \times 9 = 81 \) possibilidades.

Agora, vamos contar quantos números múltiplos de 5 têm três algarismos distintos com o último algarismo sendo 0. O primeiro algarismo pode ser selecionado de 1 a 9 (não pode ser zero), o segundo algarismo pode ser selecionado de 0 a 9, excluindo o primeiro algarismo, e o último algarismo é fixo como 0.

Então, temos \( 9 \times 9 = 81 \) possibilidades.

Portanto, o total de números inteiros positivos com três algarismos distintos que são múltiplos de 5 e têm a soma de seus algarismos igual a um número ímpar é \( 81 + 81 = 162 \).