Análise combinatória*

a) Para que cada casal fique junto em um mesmo banco, precisamos escolher 4 casais para ocuparem os 4 bancos disponíveis em um carro. Como cada banco tem 2 lugares, então cada casal pode ocupar o banco de 2 lugares de $2!$ maneiras diferentes (já que a ordem em que o casal se senta no banco não importa).

Então, o número de modos distintos de 4 casais se acomodarem em um mesmo carro, de modo que cada casal fique junto em um mesmo banco, é $4!$ (para a escolha dos casais) multiplicado por 2424 (para as maneiras de cada casal se acomodar em um banco).

Portanto, 4!×24=24×16=3844!×24=24×16=384 modos distintos.

b) Para que os homens ocupem os dois primeiros bancos e as mulheres ocupem os dois últimos, primeiro escolhemos 2 casais para ocuparem os dois primeiros bancos, o que pode ser feito de $4\times 3=12$ maneiras (pois temos 4 casais e estamos escolhendo 2). Depois, os outros 2 casais ocuparão os dois últimos bancos, o que também pode ser feito de $2\times 1=2$ maneiras.

Então, o número de modos distintos de 4 casais se acomodarem em um mesmo carro, de modo que os homens ocupem os dois primeiros bancos e as mulheres ocupem os dois últimos, é $12\times 2=24$ modos distintos.

Portanto, temos 384 modos distintos para a parte a) e 24 modos distintos para a parte b).

a) Para que cada casal fique junto em um mesmo banco, podemos considerar que existem 4 escolhas para o primeiro casal, 3 escolhas para o segundo casal, 2 escolhas para o terceiro casal e 1 escolha para o último casal, totalizando 4! = 24 maneiras. b) Se os homens ocupam os dois primeiros bancos e as mulheres os dois últimos, primeiro escolhemos os 4 casais, o que pode ser feito de 4! maneiras. Em seguida, dentro de cada casal, a ordem em que eles se sentam não importa, então há 2 maneiras para cada casal se acomodar. Portanto, o total de maneiras é 4! * 2^4 = 384.