Em uma sala de reunião estão presentes 6 homens e 8 mulheres, entre elas a Fabiana. Deseja-se formar, com essas 14 pessoas presentes, uma comissão composta por 2 homens e 5 mulheres, de modo que a Fabiana obrigatoriamente faça parte dessa comissão.
Sendo assim, o número de formas diferentes de se formar essa comissão, é:
A) 3432.
B) 525.
C) 1716.
D) 840.
O gabarito trouxe a alternativa B como certa, porém não consegui chegar nesse resultado. Os meus cálculos deram 1050.
Alguém consegue resolver?
Nas condições colocadas, temos de escolher:
- 2 homens em 6: como escolher o "homem 1 e homem 2" é o mesmo que escolher "homem 2 e homem 1", calculamos a combinação:
- 4 mulheres em 7, visto que Fabiana precisa já estar escolhida: pelo mesmo argumento, calculamos a combinação
Como é uma condição "2 homens" E "5 mulheres", então multiplicamos os dois resultados:
A comissão será composta por 2 homens e 5 mulheres, e Fabiana, que é uma das mulheres, deve fazer parte da comissão. Portanto, estamos escolhendo 2 homens de 6 e 4 mulheres de 7 (já que Fabiana já está incluída).
O número de maneiras de escolher k itens de um grupo de n itens é dado pelo coeficiente binomial, que é calculado como , onde "!" denota o fatorial.
Então, o número de maneiras de escolher 2 homens de 6 é dado por:
E o número de maneiras de escolher 4 mulheres de 7 é:
Como esses são eventos independentes (a escolha dos homens não afeta a escolha das mulheres), podemos multiplicar o número de escolhas em cada caso para obter o total de maneiras de formar a comissão:
15 * 35 = 525.
Portanto, existem 525 maneiras de formar a comissão. A resposta correta é a opção (B) 525.
Para formar uma comissão com 2 homens e 5 mulheres, sendo a Fabiana uma das mulheres escolhidas, precisamos calcular o número de combinações possíveis.
Primeiro, escolhemos 2 homens entre os 6 disponíveis. Isso pode ser feito de C(6, 2) maneiras, onde C(n, r) representa a combinação de n elementos tomados ra r.
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Em seguida, escolhemos 4 mulheres (já que a Fabiana é obrigatória) entre as 7 restantes. Isso pode ser feito de maneiras C(7, 4).
C(7, 4) = 7! / (4! * (7-4)!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35
Portanto, o número total de formas diferentes de formar essa comissão é o produto dos dois resultados obtidos:
15 * 35 = 525
Assim, a resposta correta é a letra B) 525.
Para formar a comissão, a Fabiana precisa ser selecionada e, em seguida, escolhemos 2 homens e 4 mulheres, pois a Fabiana já está incluída nas 5 mulheres selecionadas. Vamos calcular o número de maneiras de fazer essas seleções.
O número de maneiras de escolher 2 homens em um grupo de 6 é dado pelo coeficiente binomial C(6, 2):
C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
O número de maneiras de escolher 4 mulheres em um grupo de 7 (excluindo a Fabiana) é dado pelo coeficiente binomial C(7, 4):
C(7, 4) = 7! / (4! * (7-4)!) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35
Portanto, o número total de formas diferentes de formar essa comissão é o produto desses dois coeficientes binomiais:
15 * 35 = 525
Há 525 formas diferentes de formar essa comissão.
Dúvida respondida.
Nós devemos realizar a combinação de C6,2 para os homens e C7,4 para as mulheres. Posteriormente, basta multiplacar os resultados das combinações e teremos nossa resposta.
C6,2 = 15
C7,4 = 35
15 . 35 = 525
Alternativa B
Dúvida respondida pelos outros professores. Questão clássica de Combinação (a ordem de escolha não importa)! Cuidado para não confundir com Arranjo (a ordem de escolha importa)