Análise combinatoria...3

a) Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois algarismos repetidos?

Para resolver este problema, consideramos dois casos:

Todos os três algarismos são iguais:

• • Como os números devem ser de três algarismos, o primeiro algarismo não pode ser zero. Assim, temos as opções de 1 a 9 para escolher, resultando em 9 possibilidades (111, 222, ..., 999).

Exatamente dois algarismos são iguais:

• • Escolhemos o algarismo que será repetido. Temos 9 opções (1 a 9).
  • Escolhemos o algarismo diferente, que pode ser qualquer um dos 10 dígitos exceto o algarismo já escolhido para ser repetido, resultando em 9 opções possíveis (0 a 9, excluindo o repetido).
  • Escolhemos uma das três posições para colocar o algarismo diferente, as outras duas receberão o algarismo repetido.

Realizando o cálculo para este caso:

• Número de maneiras = 9 (algarismos repetidos) × 9 (algarismos diferentes) × 3 (posições para o diferente) = 243.

Somando os dois casos, obtemos o total de números:

• Total = 9 (todos iguais) + 243 (dois iguais, um diferente) = 252.

b) Quantos números de cinco algarismos têm pelo menos quatro algarismos repetidos?

Novamente, dividimos em dois casos:

Todos os cinco algarismos são iguais:

• • Como o número é de cinco algarismos, o primeiro não pode ser zero. Portanto, temos 9 opções (11111, 22222, ..., 99999).

Exatamente quatro algarismos são iguais:

• • Escolhemos o algarismo que será repetido em quatro posições, com 9 opções (1 a 9).
  • Escolhemos o algarismo diferente, que também pode ser qualquer um dos 10 dígitos, incluindo zero, desde que não seja o escolhido para ser repetido, resultando em 9 opções possíveis.
  • Escolhemos uma das cinco posições para colocar o algarismo diferente.

Calculando para este caso:

• Número de maneiras = 9 (algarismos repetidos) × 9 (algarismos diferentes) × 5 (posições para o diferente) = 405.

Somando os dois casos para obter o total de números:

• Total = 9 (todos iguais) + 405 (quatro iguais, um diferente) = 414.

Estas soluções são coerentes com os gabaritos fornecidos, com 252 e 414 respectivamente para cada item.

Um abraço,

a) Para os números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos:

1. Todos os algarismos iguais: Existem 9 possibilidades (de 111 a 999, excluindo 000).
2. Exatamente dois algarismos iguais: Existem 9 opções para o algarismo repetido, 9 opções para o outro algarismo diferente (pois não pode ser zero), e 3 posições possíveis para o algarismo diferente. Isso dá um total de 9×9×3=243

Portanto, o total de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos é 9+243=252

b) Para os números de cinco algarismos com pelo menos quatro algarismos repetidos:

1. Todos os algarismos iguais: Existem 9 possibilidades (de 11111 a 99999, excluindo 00000)
2. Exatamente 4 algarismos iguais: 9*9*5=405

405+9=414

Começando pelo item a:
Seja ABC um numero de 3 algarismos. 

Quantas possibilidades de numeros temos com 3 algarismos diferentes?
A = 9 [1,9] ; B = 9 [0,9], exceto o algarismo utilizado, C = 8 [0,9] exceto os 2 utilizados.

logo P = 9 * 9 * 8 = 648.

para formar um numero de 3 algarismos qualquer, temos 9 * 10 * 10 = 900 possibilidades.

Logo, 900 - 648 = 252. (assim, só sobram os numeros que tem pelo menos 2 repetidos)

item b)

1. Quatro algarismos iguais e um diferente:

   • Existem 5 posições para o algarismo diferente.
   • Para o algarismo diferente, temos 8 opções (todos os dígitos exceto o que está sendo repetido).
   • O algarismo repetido tem 9 opções.
   • Logo, 5×8×9=360 números nesse caso.

2. Cinco algarismos iguais:

   • Existem 9 números (11111, 22222, ..., 99999).

3. Zero repetido quatro vezes:

   • Existem 9 números (10000, 20000, ..., 90000).

4. Zero aparecendo apenas uma vez:

   • Existem 4 posições para colocar o zero (não na posição mais à esquerda).
   • Para o algarismo repetido, temos 9 opções.
   • Assim, temos 36 números.

Agora, somando os números de cada caso:

360+9+9+36=414

B

Os profs responderam bem a sua pergunta.