Angulo entre planos

Question

Calcule o &acirc;ngulo entre os planos x + 3y + 5z &minus; 7 = 0 e 4x &minus; 3y + z + 5 = 0.

Profes A. · Accepted Answer

Para calcular o ângulo entre dois planos, utilizamos os vetores normais aos planos. Os vetores normais ${\vec{n}}_{1}$ e ${\vec{n}}_{2}$ para os planos são os coeficientes das variáveis $x, y, z$ das equações dos planos.

Dado os planos $x + 3 y + 5 z - 7 = 0$ e $4 x - 3 y + z + 5 = 0$ , os vetores normais são: - ${\vec{n}}_{1} = (1, 3, 5)$ - ${\vec{n}}_{2} = (4, - 3, 1)$

O ângulo $θ$ entre os planos pode ser encontrado calculando o cosseno do ângulo entre os vetores normais usando o produto escalar:

\cos θ = \frac{{\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2}}{| {\vec{n}}_{1} | \cdot | {\vec{n}}_{2} |}

Calcule o produto escalar ${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2}$ :

{\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 1 \times 4 + 3 \times (- 3) + 5 \times 1 = 4 - 9 + 5 = 0

Calcule as normas dos vetores ${\vec{n}}_{1}$ e ${\vec{n}}_{2}$ :

| {\vec{n}}_{1} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}

| {\vec{n}}_{2} | = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}

Substitua esses valores na fórmula do cosseno:

\cos θ = \frac{0}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{26}} = 0

Como o cosseno do ângulo é zero, isso indica que o ângulo entre os planos é $θ = 90^{\circ}$ .

Portanto, os planos são ortogonais, ou seja, o ângulo entre eles é de 90 graus.

Ana F. · Answer

Para achar o ângulo entre planos, devemos primeiro achar os vetores normais de cada um deles. O ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Vou começar nomeando seus planos: (1) x + 3y + 5z = 7 (2) 4x - 3y + z = -5 Assim, os vetores normais são: n(1) = < 1, 3, 5 > n(2) = < 4, -3, 1 > Que são os coeficientes que acompanham x, y e z, respectivamente. O ângulo entre vetores é dado pela fórmula: cos(a) = n(1).n(2) / |n(1)| . |n(2)| (o cosseno do ângulo é o produto escalar dos vetores, dividido pelo produto do módulo de cada vetor) Lembrando que o produto escalar é o coeficiente x de um vetor vezes o x do outro, mais o y vezes o y, mais o z vezes o z, e que o módulo é a raiz da soma de cada termo ao quadrado, conforme a seguir: cos(a) = (1,3,5) . (4,-3,1) / raiz(1^2 + 3^2 + 5^2) . raiz(4^2 + 3^2 + 1^2) cos(a) = (1*4 + 3*-3 + 5*1) / raiz(1 + 9 + 25) . raiz(16 + 9 + 1) cos(a) = (4 - 9 + 5) / raiz(35) . raiz(26) cos(a) = 0 Se o cosseno do ângulo é zero, o ângulo entre os planos é 90º.

Vinicius B. · Answer

O &acirc;ngulo entre dois planos pode ser calculado pelo &acirc;ngulo entre seus vetores normais. Assumindo o produto escalar usual no espa&ccedil;o, temos que os vetores normais dos planos s&atilde;o dados por:n1=(1,3,5) e n2=(4,-3,1)Neste caso, vale a rela&ccedil;&atilde;o:cos(theta) = (n1,n2)/(||n1||.||n2||), onde theta &eacute; o &acirc;ngulo entre os vetores, (.,.) denota o produto escalar e ||.|| denota a norma (m&oacute;dulo) do vetor.Substituindo os dados do problema, temos: (n1,n2)=1*4+3*(-3)+5*1=0.Logo cos(thehta)=0 e theta=pi/2 (os planos s&atilde;o perpendiculares entre si)

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