Área de superfície y = y(x,z)

Para determinar a área dos dois lados da parede, podemos dividir o espaço em duas regiões: acima e abaixo da parábola.

A equação da parábola pode ser escrita como:

y = 4 - (x^2)/4

Podemos usar esta equação para encontrar os limites de integração para a região acima da parábola. A região abaixo da parábola é delimitada pelo eixo x.

Vamos começar calculando a área acima da parábola. Para isso, precisamos integrar a função h(x,y) acima da parábola:

A1 = ?(4 - (x^2)/4)dx ?[0, 4 - (x^2)/4]dy h(x,y)dy dx

A1 = ?(-x^2/4 + 4)x= -2 to 2

A1 = ?(3 - x^2/20)(4 - x^2/4)dx x= -2 to 2

A1 = ?(12 - 3x^2/4 - x^4/80)dx x= -2 to 2

A1 = [12x - x^3/4 - x^5/400] x= -2 to 2

A1 = [96/5] = 19.2

Agora vamos calcular a área abaixo da parábola. Nesta região, a altura é constante e igual a h(x,0):

A2 = ?(-2,2) h(x,0)dx

A2 = ?(-2,2) (3 - x^2/20)dx

A2 = [3x - x^3/60] x= -2 to 2

A2 = [24/5] = 4.8

Portanto, a área total dos dois lados da parede é:

A = A1 + A2 = 19.2 + 4.8 = 24 unidades de área.