Com o fim de facilitar a visão da plateia desde qualquer posição, a parede frontal de um auditório foi desenhada de tal modo que sua base é modelada pelo arco de parábola compreendido entre os pontos (-2,4) e (2,4).
Se a altura da parede acima do ponto é
,
determine a área dos dois lados da parede.
Para determinar a área dos dois lados da parede, podemos dividir o espaço em duas regiões: acima e abaixo da parábola.
A equação da parábola pode ser escrita como:
y = 4 - (x^2)/4
Podemos usar esta equação para encontrar os limites de integração para a região acima da parábola. A região abaixo da parábola é delimitada pelo eixo x.
Vamos começar calculando a área acima da parábola. Para isso, precisamos integrar a função h(x,y) acima da parábola:
A1 = ?(4 - (x^2)/4)dx ?[0, 4 - (x^2)/4]dy h(x,y)dy dx
A1 = ?(-x^2/4 + 4)x= -2 to 2
A1 = ?(3 - x^2/20)(4 - x^2/4)dx x= -2 to 2
A1 = ?(12 - 3x^2/4 - x^4/80)dx x= -2 to 2
A1 = [12x - x^3/4 - x^5/400] x= -2 to 2
A1 = [96/5] = 19.2
Agora vamos calcular a área abaixo da parábola. Nesta região, a altura é constante e igual a h(x,0):
A2 = ?(-2,2) h(x,0)dx
A2 = ?(-2,2) (3 - x^2/20)dx
A2 = [3x - x^3/60] x= -2 to 2
A2 = [24/5] = 4.8
Portanto, a área total dos dois lados da parede é:
A = A1 + A2 = 19.2 + 4.8 = 24 unidades de área.
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