Área do retângulo usando geometria analítica

Question

Os vértices de um retângulo no espaço estão sobre a reta r:(4,5,−1)+λ(−2,1,2) e a reta s: x/4 = (5−y)/2 = (4−z)/4 Sabendo que o perímetro do retângulo é 6√5, escreva a área deste retângulo com duas casas decimais.

Ana V. · Accepted Answer

Para encontrar os vértices do retângulo no espaço, primeiro precisamos encontrar as interseções entre as retas r e s.  Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta s. Dadas as proporções entre x, y e z, podemos escrever:  x/4 = (5?y)/2 = (4?z)/4  Podemos escolher um parâmetro, por exemplo, ?, e expressar as variáveis em termos desse parâmetro:  x = 4? 5?y = 2? 4?z = 4?  Resolvendo essas equações, obtemos:  x = 4? y = 5?2? z = 4?4?  Agora, vamos encontrar as interseções entre as retas r e s, igualando as respectivas coordenadas:  4 + (-2?) = 4? 5 + ? = 5 - 2? -1 + 2? = 4 - 4?  Resolvendo essas equações, encontramos o valor de ?:  -2? + 4 = 4? 6? = 4 ? = 2/3  Agora que temos o valor de ?, podemos substituí-lo nas equações paramétricas das retas r e s para encontrar as coordenadas dos vértices do retângulo.  Para a reta r: x = 4 + (-2 * 2/3) = 4 - 4/3 = 8/3 y = 5 + (2/3) = 15/3 + 2/3 = 17/3 z = -1 + (2 * 2/3) = -1 + 4/3 = 1/3  Para a reta s: x = 4 * (2/3) = 8/3 y = 5 - 2 * (2/3) = 5 - 4/3 = 11/3 z = 4 - 4 * (2/3) = 4 - 8/3 = 4/3  Portanto, os vértices do retângulo no espaço são: A(8/3, 17/3, 1/3), B(8/3, 11/3, 4/3), C(4/3, 11/3, 4/3) e D(4/3, 17/3, 1/3).  Agora, vamos calcular o comprimento dos lados do retângulo para encontrar a sua área.  Lado AB: ?[(8/3 - 8/3)^2 + (17/3 - 11/3)^2 + (1/3 - 4/3)^2] = ?[(0)^2 + (6/3)^2 + (-3/3)^2] = ?[(0) + (2)^2 + (-1)^2] = ?[0 + 4 + 1] = ?5  Lado BC: ?[(8/3 - 4/3)^2 + (11/3 - 11/3)^2 + (4/3 - 4/3)^2] = ?[(4/3)^2 + (0)^2 + (0)^2] = ?[(16/9) + 0 + 0] = ?(16/9) = 4/3  Como o retângulo tem dois lados iguais, podemos considerar que AB e BC são os lados adjacentes do retângulo. Portanto, o perímetro do retângulo é 2(?5 + 4/3) = 2?5 + 8/3.  Sabemos que o perímetro do retângulo é 6?5, então podemos igualar as duas expressões e resolver a equação:  2?5 + 8/3 = 6?5  Isolando ?5:  2?5 - 6?5 = -8/3  -4?5 = -8/3  ?5 = (8/3) / 4 ?5 = 2/3  Agora, vamos calcular a área do retângulo usando a fórmula da área:  Área = (lado AB) * (lado BC) Área = ?5 * (4/3) Área = (4?5) / 3  Portanto, a área do retângulo é (4?5) / 3, aproximadamente igual aÁrea ? 2,68 unidades quadradas (considerando duas casas decimais).

Marcos E. · Answer

Inicialmente é necessário encontrar os pontos de interseção das retas r e s.

Para a reta r, temos a equação paramétrica: $r : (x, y, z) = (4, 5, ? 1) + ? (? 2, 1, 2)$

Substituindo os valores de $x$ , $y$ e $z$ da reta s na equação paramétrica da reta r, podemos encontrar o valor de $?$ : $x = 4 ? 2 ?$ $y = 5 + ?$ $z = ? 1 + 2 ?$

Agora, substituímos esses valores na equação da reta s: $4 4 ? 2 ? = 2 5 + ? = 4 4 ? ( ?1 + 2 ? )$

Resolvendo a primeira e a terceira igualdade, encontramos $? = 3 1$ .

Agora, substituímos $? = 3 1$ na equação paramétrica da reta r para encontrar o ponto de interseção: $x = 4 ? 2 \times 3 1 = 3 10$ $y = 5 + 3 1 = 3 16$ $z = ? 1 + 2 \times 3 1 = 3 1$

Portanto, o primeiro vértice do retângulo é $A (3 10, 3 16, 3 1)$ .

Agora, encontramos o segundo vértice substituindo $? = ? 3 1$ na equação paramétrica da reta r: $x = 4 ? 2 \times (? 3 1) = 3 10$ $y = 5 ? 3 1 = 3 14$ $z = ? 1 + 2 \times (? 3 1) = ? 3 5$

Portanto, o segundo vértice do retângulo é $B (3 10, 3 14, ? 3 5)$ .

Com os vértices $A$ e $B$ , calculamos o comprimento $L$ e a largura $W$ do retângulo: $L = A B = (3 10 ? 3 10)^{2} + (3 16 ? 3 14)^{2} + (3 1 + 3 5)^{2}$

$= (3 0)^{2} + (3 2)^{2} + (3 6)^{2}$ $= 9 4 + 9 36$ $= 9 40$ $= 3 2 10$

$W = BC = (3 16 ? 3 14)^{2} + (? 3 5 ? 3 1)^{2} + (3 1 ? 3 5)^{2}$

$= (3 2)^{2} + (? 3 6)^{2} + (? 3 4)^{2}$ $= 9 4 + 9 36 + 9 16$ $= 9 56$ $= 3 2 14$

A área do retângulo é dada por $A = L \times W$ : $A = 3 2 10$

$\times 3 2 14$ $= 9 4 140$

$? 10, 17$

Portanto, a área do retângulo é aproximadamente 10,17 unidades quadradas, com duas casas decimais.

Área do retângulo usando geometria analítica

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