Área total do paralelepípedo

Qual é a área total do paralelepípedo retângulo cujas arestas medem 1/2,a/2,a^2/2 e o volume 64cm^3?

Priscila Resende
Priscila
perguntou há 3 semanas

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3 respostas
Professor Matheus Bohrer
Respondeu há 3 semanas
Priscila, para calcular a área total, você precisa encontrar as áreas laterais e, para isso, você precisa encontrar o valor de 'a'. Como você sabe que o volume é o produto entre as 3 dimensões, podemos escrever

64 = 1/2 x a/2 x a^2/2

Ou seja, 64 = a^3 /8 , donde segue que a = 8 cm.

Assim, as arestas desse paralelepipedo medem 1/2, 4 e 32. Com isso, você tá apta a calcular cada uma das áreas laterais e, aí, basta somá-las. Abraços
Professora Nayara Araújo
Respondeu há 3 semanas
A medida de cada lado é
X=1/2
Y=a/2
Z=a^2/2
O volume será sempre base x comprimento x altura que será neste caso X x Y x Z

Então: Volume = 1/2 x a/2 x a^2/2 = a^3/8

a^3/8 = 64
a^3 = 64x8 = 512
a= ³?512
a=8
Então, X=1/2 , Y=4 , Z=32
Num paralelepípedo retângulo a área total é calculada somando a área de todos os lados. Você tem 6 lados mas cada lado tem um lado oposto que tem a mesma área. Então a área total é:

A1 = X x Y = 1/2 x 4 = 2
A2 = Y x Z = 4 x 32 = 128
A3 = Z x X = 32 x 1/2 = 16

Área total = 2 x A1 + 2 x A2 + 2 x A3 = 2x2 + 2x128 + 2x16 = 292cm³
Professor Wesley F. Lima
Respondeu há 3 semanas
Olá Priscila!


Bem, creio que essa questao seja melhor entendida quando nós visualizamos o paralelepípedo. Como nao temos recursos de imagem aqui, peço que você acesse este link: https://drive.google.com/file/d/17wCjw19ppQMywEPU3ynmelZsbHSCr2kT/view?usp=sharing

Com a visualizaçao sendo possível, acredito que o entendimento seja melhor.



Agora vamos às contas:

Precisamos descobrir quanto mede a área de superfície desse sólido. Para fazer isso, precisamos descobrir quanto mede a área de cada uma de suas faces. Bem, como ele é um paralelepípedo reto-retângulo, sabemos que cada face é espelhada (em outras palavras, cada face possui uma outra igual e oposta a ela).

Sendo assim, vamos calcular quanto valem as faces A, B e C (marcadas na figura do link) . Depois vamos somá-las e, por último, multiplicar por dois.


Para a face A: temos que a face A é delimitada pela base de tamanho (a^2)/2 e altura a/2. Sua área será a multiplicacao desses dois valores. Logo, sua área é (a^2)/2*a/2=(a^3)/4.

Para a face B: temos que a face B é delimitada pela base de tamanho 1/2 e altura a/2. Sua área será a multiplicaçao desses dois valores. Logo, sua área é 1/2*a/2=a/4

Para a face C: temos que a face C é delimitada pela base de tamanho (a^2)/2 e altura 1/2. Sua área será a multiplicaçao desses dois valores. Logo, sua área é (a^2)/2*1/2=(a^2)/4

Entao a área total será 2*(A+B+C) que é 2*[(a^3)/4+a/4+(a^2)/4]. Parece uma expressao bem feia, mas nao se preocupe. Se encontrarmos o valor de "a", entao resolveremos o problema. Vamos entao encontrar o "a".



Falaram-nos no enunciado que o volume desse paralelepípedo é 64cm^3. Ora, mas como calcular o volume de uma figura dessas? Nós precisamos multiplicar o comprimento das três dimensoes (largura, altura e profundidade). Esses comprimentos já foram fornecidos no enunciado: 1/2, a/2, e a^2/2.

Entao: 64=(1/2)*(a/2)*(a^2/2)=(a^3)/8. Portanto, ao isolarmos "a", temos que a=8.



Agora, enfim, vamos encontrar a área que queremos: como a=8, a área é 2*[(8^3)/4)+8/4+(8^2)/4]=292.

Portanto, a área total da superfície do paralelepípedo é 292 centímetros quadrados.

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