As probabilidades a priori dos eventos A1 e A2 são P(A1) = 0,40 e P(A2) = 0,60. Sabe-se também
que P(A1 n A2 ) =0. Suponha que P(R 1 A1) = 0,20 e P(R 1 A2) = 0,05.
a. A1 e A2 são mutuamente exclusivos? Explique.
b. Calcule P(A 1 n R) e P(A2 n R).
c. Calcule P(R).
d. Aplique o teorema de Bayes para calcular P(A1 1 R) e P(A2 1 R).
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a. A1 e A2 são mutuamente exclusivos se a ocorrência de um evento impede a ocorrência do outro. No entanto, como P(A1 n A2) = 0, isso significa que os eventos A1 e A2 não podem ocorrer simultaneamente, tornando-os mutuamente exclusivos.
b. Para calcular P(A1 n R), usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A1 n R) = P(R | A1) * P(A1) = 0,20 * 0,40 = 0,08.
Para calcular P(A2 n R):
P(A2 n R) = P(R | A2) * P(A2) = 0,05 * 0,60 = 0,03.
c. Para calcular P(R), podemos usar o Teorema da Probabilidade Total:
P(R) = P(R | A1) * P(A1) + P(R | A2) * P(A2) = 0,20 * 0,40 + 0,05 * 0,60 = 0,08 + 0,03 = 0,11.
d. Para aplicar o Teorema de Bayes, podemos usar a fórmula:
P(A1 | R) = (P(R | A1) * P(A1)) / P(R) = (0,20 * 0,40) / 0,11 ? 0,727.
Para calcular P(A2 | R):
P(A2 | R) = (P(R | A2) * P(A2)) / P(R) = (0,05 * 0,60) / 0,11 ? 0,273.
Portanto, P(A1 | R) é aproximadamente 0,727 e P(A2 | R) é aproximadamente 0,273.
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