atore os polinômios abaixo em termos de seus fatores irredut

Para fatorar o polinômio $x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ em termos de seus fatores irredutíveis, podemos começar procurando raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere possíveis raízes racionais como os divisores do termo constante (24) sobre os divisores do coeficiente líder (1).

Os divisores de 24 são $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24$.

Vamos testar algumas dessas possíveis raízes usando substituição. Primeiro, testamos $x=1$:

Portanto, $x=1$ é uma raiz. Usaremos a divisão sintética para dividir o polinômio por $x-1$:

1. Coeficientes do polinômio: 1, -10, 35, -50, 24.
2. Raiz: 1.

Efetuando a divisão:

Assim, ( x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24 = (x - 1)(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) ).

Agora, precisamos fatorar o polinômio cúbico $x^3-9x^2+26x-24$. Vamos procurar outra raiz racional:

Testando $x=2$:

Assim, $x=2$ é outra raiz. Dividimos $x^3-9x^2+26x-24$ por $x-2$:

1. Coeficientes: 1, -9, 26, -24.
2. Raiz: 2.

Efetuando a divisão:

Assim, ( x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = (x - 2)(x^2 - 7x + 12) ).

Fatorando o polinômio quadrático $x^2-7x+12$ usando suas raízes:

As raízes são dadas por $x=3$ e $x=4$ (verifique através da fórmula quadrática ou fatoração direta).

Portanto, ( x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) ).

Finalmente, o polinômio original pode ser escrito como:

Esses são os fatores irredutíveis do polinômio sobre os números reais.