Para resolver o problema, precisaremos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades dos triângulos retângulos.
Dado: - A altura relativa à hipotenusa . - Forma um ângulo de com o cateto .
No triângulo retângulo, a hipotenusa é a maior distância, e ao traçar uma altura até a hipotenusa, você gera dois triângulos retângulos menores.
Como temos o ângulo de , podemos usar as seguintes relações trigonométricas para determinar os catetos:
Podemos também calcular o cateto usando a altura e o ângulo de com a seguinte relação: -
Sabendo que: -
Se utilizarmos as fórmulas conhecidas para seno e cosseno de :
Pelas razões conhecidas: - - -
Calculamos: - -
Dessa maneira: - -
Para encontrar , temos:
Substituindo a expressão de :
Para calcular com precisão, resolva calculando os valores numéricos.
Por simplicidade e rompimento de complexidades trigonométricas, esse tipo de problema normalmente tem ponto de partida calculado numericamente, fornecendo precisão adicional a quem calcula detalhadamente utilizando calculadoras ou software adicional de apoio para cálculos trigonométricos e algébricos.
Vamos nomear nossos lados (catetos e hipotenusa) da seguinte maneira:
Analisaremos, primeiro, o triângulo formado pelo cateto b, a altura h=4 e o comprimento m. Sabemos que esse triângulo também será retângulo, dado que um de seus lados é justamente a altura do triângulo inicial e esta é perpendicular ao lado de referência (que, neste caso, é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados a, b e c). Daí, a partir das relações métricas no triângulo retângulo, temos que:
Foram fornecidos sen(75°) e cos(75°). Porém, como 75° e 15° são complementares (ou seja, a soma desses ângulos será 90°), podemos afirmar que sen(75°) = cos(15°), cos(75°) = sen(15°) e tg(15°) = 1/tg(75°) = cos(75°)/sen(75°). Assim, temos:
sen(75°) = 4/b -> b = 4/sen(75°) = 4(raiz(6) - raiz(2))
m = 4tg(15°) = 4cos(75°)/sen(75°) = 4(2-raiz(3))
Analisaremos, agora, o triângulo formado pelo cateto c, a altura h=4 e o comprimento n. A partir das relações métricas nesse triângulo retângulo, temos:
Daí, temos:
c = 4/cos(75°) = 4(raiz(6) + raiz(2))
n = 4tg(75°) = 4(2 + raiz(3))
Como a = m + n, temos, portanto, a medida dos três lados do triângulo retângulo:
a = 4(2-raiz(3)) + 4(2+raiz(3)) = 16
b = 4(raiz(6) - raiz(2))
c = 4(raiz(6) + raiz(2))