Calcule a medida dos lados de um triângulo retângulo sabendo

Question

Calcule a medida dos lados de um triângulo retângulo sabendo que a altura relativa à hipotenusa mede 4 e forma um ângulo de 15 grau com o cateto b.  Dados  Seno de 75 grau= ( raiz quadrada de 2 + raiz quadrada de 6)/4 e o Cosseno de 75 grau= (raiz quadrada de 6 - raiz de 2) /4

Profes A. · Accepted Answer

Para resolver o problema, precisaremos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades dos triângulos retângulos.

Dado: - A altura relativa à hipotenusa $h = 4$ . - Forma um ângulo de $15^{\circ}$ com o cateto $b$ .

No triângulo retângulo, a hipotenusa é a maior distância, e ao traçar uma altura até a hipotenusa, você gera dois triângulos retângulos menores.

Como temos o ângulo de $15^{\circ}$ , podemos usar as seguintes relações trigonométricas para determinar os catetos:

$\sin (75^{\circ}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
$\cos (75^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Podemos também calcular o cateto $b$ usando a altura e o ângulo de $15^{\circ}$ com a seguinte relação: - $\tan (15^{\circ}) = \frac{oposto}{adjacente} = \frac{h}{b}$

Sabendo que: - $\tan (15^{\circ}) = \frac{\sin (15^{\circ})}{\cos (15^{\circ})}$

Se utilizarmos as fórmulas conhecidas para seno e cosseno de $15^{\circ}$ :

$\sin (15^{\circ}) = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) - \cos (45^{\circ}) \sin (30^{\circ})$
$\cos (15^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) \cos (30^{\circ}) + \sin (45^{\circ}) \sin (30^{\circ})$

Pelas razões conhecidas: - $\sin (45^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\sin (30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ - $\cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Calculamos: - $\sin (15^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ - $\sin (15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos (15^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$\cos (15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Dessa maneira: - $\tan (15^{\circ}) = \frac{\sin (15^{\circ})}{\cos (15^{\circ})}$ - $\tan (15^{\circ}) = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Para encontrar $b$ , temos:

\tan (15^{\circ}) = \frac{h}{b} = \frac{4}{b}

b = \frac{4}{\tan (15^{\circ})}

Substituindo a expressão de $\tan (15^{\circ})$ :

b = \frac{4 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}

Para calcular $b$ com precisão, resolva calculando os valores numéricos.

Por simplicidade e rompimento de complexidades trigonométricas, esse tipo de problema normalmente tem ponto de partida calculado numericamente, fornecendo precisão adicional a quem calcula detalhadamente utilizando calculadoras ou software adicional de apoio para cálculos trigonométricos e algébricos.

João M. · Answer

Vamos nomear nossos lados (catetos e hipotenusa) da seguinte maneira:

O cateto que faz 15° com a altura h = 4 será chamado de b (como no enunciado)
O outro cateto, chamaremos de c
A hipotenusa, chamaremos de a. Iremos dividir essa hipotenusa em duas partes: a primeira, oposta ao ângulo de 15°, chamaremos de m; a segunda, em oposição ao ângulo de 75°, será chamada de n (vale ressaltar que estamos falando da hipotenusa, que é oposta ao ângulo de 90°. Faça seu desenho de maneira que essa hipotenusa seja sua "base". Isso facilita a análise). Assim, temos que a = m + n

Analisaremos, primeiro, o triângulo formado pelo cateto b, a altura h=4 e o comprimento m. Sabemos que esse triângulo também será retângulo, dado que um de seus lados é justamente a altura do triângulo inicial e esta é perpendicular ao lado de referência (que, neste caso, é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados a, b e c). Daí, a partir das relações métricas no triângulo retângulo, temos que:

cos (15°) = 4/b
tg (15°) = m/4

Foram fornecidos sen(75°) e cos(75°). Porém, como 75° e 15° são complementares (ou seja, a soma desses ângulos será 90°), podemos afirmar que sen(75°) = cos(15°), cos(75°) = sen(15°) e tg(15°) = 1/tg(75°) = cos(75°)/sen(75°). Assim, temos:

sen(75°) = 4/b -> b = 4/sen(75°) = 4(raiz(6) - raiz(2))

m = 4tg(15°) = 4cos(75°)/sen(75°) = 4(2-raiz(3))

Analisaremos, agora, o triângulo formado pelo cateto c, a altura h=4 e o comprimento n. A partir das relações métricas nesse triângulo retângulo, temos:

cos(75°) = 4/c
tg(75°) = n/4

Daí, temos:

c = 4/cos(75°) = 4(raiz(6) + raiz(2))

n = 4tg(75°) = 4(2 + raiz(3))

Como a = m + n, temos, portanto, a medida dos três lados do triângulo retângulo:

a = 4(2-raiz(3)) + 4(2+raiz(3)) = 16

b = 4(raiz(6) - raiz(2))

c = 4(raiz(6) + raiz(2))

Calcule a medida dos lados de um triângulo retângulo sabendo

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