Calcule, em cada caso, o volume de um cilindro circular reto:
a) cuja altura mede 3 cm e o raio da base mede 2 cm;
b) cujo diâmetro da base mede 4 cm e a altura mede 3/4 do raio da base;
c) cuja planificação da superfície lateral é um retângulo de 10 cm de base e 25 cm de altura;
d) inscrito em um paralelepípedo retângulo de 20 cm de altura e base quadrada de perímetro 24 cm;
e) circunscrito a um cubo cuja diagonal mede 9 raiz de 3 cm;
f) obtido pela rotação, em torno do maior lado, de um retângulo de área 48 cm, em que um lado mede o triplo do outro.
Fórmula para o cálculo do volume de um cilindro (em algumas respostas esqueci de colocar os volumes em . Releve essa parte hehe):
a) e
b) Diâmetro é o dobro do raio:
c) Lembrando da fórmula do comprimento da circunferência
Acontece que a base desse retângulo equivale a C. Logo:
E sabemos que a altura é 25cm
d) Se o perímetro da base quadrada desse paralelepípedo é 24cm, significa que o lado é 6cm. Logo o diâmetro é 6cm. Portanto, o raio é 3cm. A altura é 20cm
e) Se ele está circunscrevendo um cubo, significa que a diagonal da base desse cubo é igual ao diâmetro da base do cilindro. Pela generalização do teorema de Pitágora para a diagonal de sólidos:
Como estamos falando de um cubo, todos os lados, x, y e z, são iguais. Vamos chamá-los de L:
O lado do cubo é igual a 9. Portanto, a diagonal da base, pelo teorema de Pitágoras:
Calculamos o raio
Uma vez que a altura é igual ao lado, 9, calculamos o volume:
f) Primeiro descobrimos os lados do retângulo. Chamamos a altura x e a base de 3x. Calculamos a área:
Temos portanto a base igual a 12cm e a altura igual a 4cm. Ao girar em torno do eixo ao qual o lado de 12cm está posto, criamos um cilindro de raio 4cm e altura 12cm:
Para calcular o volume de um cilindro circular reto, utilizamos a fórmula:
V = ? * r^2 * h
onde V é o volume, ? (pi) é uma constante aproximada de 3.14159, r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
Vamos calcular o volume em cada um dos casos apresentados:
a) Altura = 3 cm, Raio = 2 cm
V = ? * (2 cm)^2 * 3 cm
V = 3.14159 * 4 cm^2 * 3 cm
V = 37.699 cm^3
O volume do cilindro é de aproximadamente 37.699 cm³.
b) Diâmetro da base = 4 cm, Altura = 3/4 do raio
Como o diâmetro é o dobro do raio, podemos calcular o raio dividindo o diâmetro por 2:
Raio = 4 cm / 2
Raio = 2 cm
Altura = 3/4 * 2 cm
Altura = 1.5 cm
V = ? * (2 cm)^2 * 1.5 cm
V = 3.14159 * 4 cm^2 * 1.5 cm
V = 18.849 cm^3
O volume do cilindro é de aproximadamente 18.849 cm³.
c) Planificação da superfície lateral é um retângulo de 10 cm de base e 25 cm de altura
O retângulo planificado é uma representação da superfície lateral do cilindro. O comprimento da base do retângulo corresponde à circunferência da base do cilindro, e a altura do retângulo corresponde à altura do cilindro.
Circunferência da base = 10 cm
Raio = Circunferência / (2 * ?)
Raio = 10 cm / (2 * 3.14159)
Raio ? 1.592 cm
Altura = 25 cm
V = ? * (1.592 cm)^2 * 25 cm
V ? 3.14159 * 2.529 cm^2 * 25 cm
V ? 199.061 cm^3
O volume do cilindro é aproximadamente 199.061 cm³.
d) Inscrito em um paralelepípedo retângulo de 20 cm de altura e base quadrada de perímetro 24 cm
Se o cilindro está inscrito no paralelepípedo retângulo, isso significa que o diâmetro do cilindro é igual à menor aresta do paralelepípedo, e a altura do cilindro é igual à altura do paralelepípedo.
Diâmetro = Menor aresta = 24 cm / 4 = 6 cm
Altura = 20 cm
V = ? * (6 cm / 2)^2 * 20 cm
V = 3.14159 * 3 cm^2 * 20 cm
V = 565.486 cm^3
O volume do cilindro é de aproximadamente 565.486 cm³.
e) Circunscrito a um cubo cuja diagonal mede 9?3 cm
Se o cilindro está circunscrito ao cubo, isso significa que a diagonal do cubo é igual ao diâmetro do cilindro. Vamos calcular o raio a partir do diâmetro.
Diâmetro = 9?3 cm
Raio = Diâmetro / 2 = (9?3 cm) / 2 = (9 cm / 2) * ?3 = 4.5?3 cm
V = ? * (4.5?3 cm)^2 * h
No enunciado não foi fornecida a altura do cilindro circunscrito ao cubo. Portanto, não é possível calcular o volume sem essa informação adicional.
f) Obtido pela rotação, em torno do maior lado, de um retângulo de área 48 cm², em que um lado mede o triplo do outro.
Dado que um lado do retângulo mede o triplo do outro, podemos assumir que os lados são x e 3x.
Área do retângulo = x * 3x = 48 cm²
3x² = 48 cm²
x² = 16 cm²
x = 4 cm
Portanto, os lados do retângulo são 4 cm e 12 cm.
O lado de 12 cm corresponde à circunferência da base do cilindro, e o lado de 4 cm corresponde à altura do cilindro.
Circunferência da base = 12 cm
Raio = Circunferência / (2 * ?) = 12 cm / (2 * 3.14159) ? 1.909 cm
Altura = 4 cm
V = ? * (1.909 cm)^2 * 4 cm
V ? 3.141
59 * 3.636 cm^2 * 4 cm
V ? 45.525 cm^3
O volume do cilindro é aproximadamente 45.525 cm³.